Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49789 / 83347
↖ ↑ ↗
← S 43.872158°
W 43.250427°		 ← 220.18 m → S 43.872158°
W 43.247681°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.874138°
W 43.250427°		 ← 220.17 m →
48 478 m²		 S 43.874138°
W 43.247681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379863739013672 y=0.635890960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379863739013672 × 217)
    floor (0.379863739013672 × 131072)
    floor (49789.5)     		tx = 49789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635890960693359 × 217)
    floor (0.635890960693359 × 131072)
    floor (83347.5)     		ty = 83347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49789 / 83347 ti = "17/49789/83347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49789/83347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49789 ÷ 217
    49789 ÷ 131072     		x = 0.379859924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83347 ÷ 217
    83347 ÷ 131072     		y = 0.635887145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379859924316406 × 2 - 1) × π
    -0.240280151367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.75486236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635887145996094 × 2 - 1) × π
    -0.271774291992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.85380411913282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75486236} λ = -0.75486236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85380411913282))-π/2
    2×atan(0.425792083340231)-π/2
    2×0.402541357815545-π/2
    0.805082715631091-1.57079632675     		φ = -0.76571361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75486236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.250427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76571361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.872158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49789 KachelY 83347 -0.75486236 -0.76571361 -43.250427 -43.872158
    Oben rechts KachelX + 1 49790 KachelY 83347 -0.75481442 -0.76571361 -43.247681 -43.872158
    Unten links KachelX 49789 KachelY + 1 83348 -0.75486236 -0.76574817 -43.250427 -43.874138
    Unten rechts KachelX + 1 49790 KachelY + 1 83348 -0.75481442 -0.76574817 -43.247681 -43.874138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76571361--0.76574817) × R
    3.45599999999058e-05 × 6371000     		dl = 220.1817599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76571361--0.76574817) × R
    3.45599999999058e-05 × 6371000     		dr = 220.1817599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75486236--0.75481442) × cos(-0.76571361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720887972472915 × 6371000     		do = 220.177742449495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75486236--0.75481442) × cos(-0.76574817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72086402017884 × 6371000     		du = 220.170426802353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76571361)-sin(-0.76574817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720887972472915-0.72086402017884)×R²
    abs(-0.75481442--0.75486236)×2.39522940744807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39522940744807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39522940744807e-05×40589641000000     		ar = 48478.3174640501m²