Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49789 / 82819
↖ ↑ ↗
← S 42.817566°
W 43.250427°		 ← 224.04 m → S 42.817566°
W 43.247681°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 42.819581°
W 43.250427°		 ← 224.03 m →
50 184 m²		 S 42.819581°
W 43.247681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379863739013672 y=0.631862640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379863739013672 × 217)
    floor (0.379863739013672 × 131072)
    floor (49789.5)     		tx = 49789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631862640380859 × 217)
    floor (0.631862640380859 × 131072)
    floor (82819.5)     		ty = 82819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49789 / 82819 ti = "17/49789/82819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49789/82819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49789 ÷ 217
    49789 ÷ 131072     		x = 0.379859924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82819 ÷ 217
    82819 ÷ 131072     		y = 0.631858825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379859924316406 × 2 - 1) × π
    -0.240280151367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.75486236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631858825683594 × 2 - 1) × π
    -0.263717651367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.828493436133431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75486236} λ = -0.75486236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828493436133431))-π/2
    2×atan(0.436706717527051)-π/2
    2×0.411744410586477-π/2
    0.823488821172953-1.57079632675     		φ = -0.74730751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75486236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.250427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74730751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.817566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49789 KachelY 82819 -0.75486236 -0.74730751 -43.250427 -42.817566
    Oben rechts KachelX + 1 49790 KachelY 82819 -0.75481442 -0.74730751 -43.247681 -42.817566
    Unten links KachelX 49789 KachelY + 1 82820 -0.75486236 -0.74734267 -43.250427 -42.819581
    Unten rechts KachelX + 1 49790 KachelY + 1 82820 -0.75481442 -0.74734267 -43.247681 -42.819581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74730751--0.74734267) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74730751--0.74734267) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75486236--0.75481442) × cos(-0.74730751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733521520012785 × 6371000     		do = 224.036353055683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75486236--0.75481442) × cos(-0.74734267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733497622494861 × 6371000     		du = 224.029054138587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74730751)-sin(-0.74734267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733521520012785-0.733497622494861)×R²
    abs(-0.75481442--0.75486236)×2.38975179238654e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38975179238654e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38975179238654e-05×40589641000000     		ar = 50184.302393711m²