Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49788 / 83363
↖ ↑ ↗
← S 43.903830°
W 43.253174°		 ← 220.06 m → S 43.903830°
W 43.250427°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 43.905809°
W 43.253174°		 ← 220.05 m →
48 425 m²		 S 43.905809°
W 43.250427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379856109619141 y=0.636013031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379856109619141 × 217)
    floor (0.379856109619141 × 131072)
    floor (49788.5)     		tx = 49788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636013031005859 × 217)
    floor (0.636013031005859 × 131072)
    floor (83363.5)     		ty = 83363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49788 / 83363 ti = "17/49788/83363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49788/83363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49788 ÷ 217
    49788 ÷ 131072     		x = 0.379852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83363 ÷ 217
    83363 ÷ 131072     		y = 0.636009216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.24029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75491030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636009216308594 × 2 - 1) × π
    -0.272018432617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.854571109526741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75491030} λ = -0.75491030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854571109526741))-π/2
    2×atan(0.425465630111751)-π/2
    2×0.402264974219228-π/2
    0.804529948438456-1.57079632675     		φ = -0.76626638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75491030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76626638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.903830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49788 KachelY 83363 -0.75491030 -0.76626638 -43.253174 -43.903830
    Oben rechts KachelX + 1 49789 KachelY 83363 -0.75486236 -0.76626638 -43.250427 -43.903830
    Unten links KachelX 49788 KachelY + 1 83364 -0.75491030 -0.76630092 -43.253174 -43.905809
    Unten rechts KachelX + 1 49789 KachelY + 1 83364 -0.75486236 -0.76630092 -43.250427 -43.905809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76626638--0.76630092) × R
    3.45400000000273e-05 × 6371000     		dl = 220.054340000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76626638--0.76630092) × R
    3.45400000000273e-05 × 6371000     		dr = 220.054340000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75491030--0.75486236) × cos(-0.76626638) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720504764219811 × 6371000     		do = 220.060700785727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75491030--0.75486236) × cos(-0.76630092) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720480812027473 × 6371000     		du = 220.053385169657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76626638)-sin(-0.76630092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720504764219811-0.720480812027473)×R²
    abs(-0.75486236--0.75491030)×2.39521923381947e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39521923381947e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39521923381947e-05×40589641000000     		ar = 48424.5073597276m²