Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49788 / 83348
↖ ↑ ↗
← S 43.874138°
W 43.253174°		 ← 220.17 m → S 43.874138°
W 43.250427°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 43.876118°
W 43.253174°		 ← 220.16 m →
48 463 m²		 S 43.876118°
W 43.250427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379856109619141 y=0.635898590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379856109619141 × 217)
    floor (0.379856109619141 × 131072)
    floor (49788.5)     		tx = 49788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635898590087891 × 217)
    floor (0.635898590087891 × 131072)
    floor (83348.5)     		ty = 83348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49788 / 83348 ti = "17/49788/83348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49788/83348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49788 ÷ 217
    49788 ÷ 131072     		x = 0.379852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83348 ÷ 217
    83348 ÷ 131072     		y = 0.635894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379852294921875 × 2 - 1) × π
    -0.24029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75491030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.27178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.85385205603244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75491030} λ = -0.75491030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85385205603244))-π/2
    2×atan(0.425771672677089)-π/2
    2×0.402524079535399-π/2
    0.805048159070798-1.57079632675     		φ = -0.76574817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75491030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76574817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.874138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49788 KachelY 83348 -0.75491030 -0.76574817 -43.253174 -43.874138
    Oben rechts KachelX + 1 49789 KachelY 83348 -0.75486236 -0.76574817 -43.250427 -43.874138
    Unten links KachelX 49788 KachelY + 1 83349 -0.75491030 -0.76578272 -43.253174 -43.876118
    Unten rechts KachelX + 1 49789 KachelY + 1 83349 -0.75486236 -0.76578272 -43.250427 -43.876118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76574817--0.76578272) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dl = 220.118050000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76574817--0.76578272) × R
    3.45500000000776e-05 × 6371000     		dr = 220.118050000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75491030--0.75486236) × cos(-0.76574817) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.72086402017884 × 6371000     		do = 220.170426802863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75491030--0.75486236) × cos(-0.76578272) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720840073954785 × 6371000     		du = 220.16311300966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76574817)-sin(-0.76578272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72086402017884-0.720840073954785)×R²
    abs(-0.75486236--0.75491030)×2.39462240556598e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39462240556598e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39462240556598e-05×40589641000000     		ar = 48462.680071393m²