Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49787 / 83364
↖ ↑ ↗
← S 43.905809°
W 43.255920°		 ← 220.01 m → S 43.905809°
W 43.253174°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 43.907787°
W 43.255920°		 ← 220 m →
48 399 m²		 S 43.907787°
W 43.253174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379848480224609 y=0.636020660400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379848480224609 × 217)
    floor (0.379848480224609 × 131072)
    floor (49787.5)     		tx = 49787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636020660400391 × 217)
    floor (0.636020660400391 × 131072)
    floor (83364.5)     		ty = 83364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49787 / 83364 ti = "17/49787/83364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49787/83364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49787 ÷ 217
    49787 ÷ 131072     		x = 0.379844665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83364 ÷ 217
    83364 ÷ 131072     		y = 0.636016845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379844665527344 × 2 - 1) × π
    -0.240310668945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75495823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636016845703125 × 2 - 1) × π
    -0.27203369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.854619046426361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75495823} λ = -0.75495823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854619046426361))-π/2
    2×atan(0.425445235097389)-π/2
    2×0.402247705123955-π/2
    0.80449541024791-1.57079632675     		φ = -0.76630092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75495823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.255920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76630092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.905809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49787 KachelY 83364 -0.75495823 -0.76630092 -43.255920 -43.905809
    Oben rechts KachelX + 1 49788 KachelY 83364 -0.75491030 -0.76630092 -43.253174 -43.905809
    Unten links KachelX 49787 KachelY + 1 83365 -0.75495823 -0.76633545 -43.255920 -43.907787
    Unten rechts KachelX + 1 49788 KachelY + 1 83365 -0.75491030 -0.76633545 -43.253174 -43.907787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76630092--0.76633545) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76630092--0.76633545) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75495823--0.75491030) × cos(-0.76630092) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.720480812027473 × 6371000     		do = 220.007483336383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75495823--0.75491030) × cos(-0.76633545) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.720456865910591 × 6371000     		du = 220.000171101521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76630092)-sin(-0.76633545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720480812027473-0.720456865910591)×R²
    abs(-0.75491030--0.75495823)×2.39461168825006e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39461168825006e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39461168825006e-05×40589641000000     		ar = 48398.7805570863m²