Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49787 / 83345
↖ ↑ ↗
← S 43.868198°
W 43.255920°		 ← 220.15 m → S 43.868198°
W 43.253174°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.870178°
W 43.255920°		 ← 220.14 m →
48 471 m²		 S 43.870178°
W 43.253174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379848480224609 y=0.635875701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379848480224609 × 217)
    floor (0.379848480224609 × 131072)
    floor (49787.5)     		tx = 49787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635875701904297 × 217)
    floor (0.635875701904297 × 131072)
    floor (83345.5)     		ty = 83345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49787 / 83345 ti = "17/49787/83345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49787/83345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49787 ÷ 217
    49787 ÷ 131072     		x = 0.379844665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83345 ÷ 217
    83345 ÷ 131072     		y = 0.635871887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379844665527344 × 2 - 1) × π
    -0.240310668945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75495823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635871887207031 × 2 - 1) × π
    -0.271743774414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.85370824533358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75495823} λ = -0.75495823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85370824533358))-π/2
    2×atan(0.425832907601905)-π/2
    2×0.402575916097961-π/2
    0.805151832195923-1.57079632675     		φ = -0.76564449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75495823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.255920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76564449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.868198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49787 KachelY 83345 -0.75495823 -0.76564449 -43.255920 -43.868198
    Oben rechts KachelX + 1 49788 KachelY 83345 -0.75491030 -0.76564449 -43.253174 -43.868198
    Unten links KachelX 49787 KachelY + 1 83346 -0.75495823 -0.76567905 -43.255920 -43.870178
    Unten rechts KachelX + 1 49788 KachelY + 1 83346 -0.75491030 -0.76567905 -43.253174 -43.870178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76564449--0.76567905) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76564449--0.76567905) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75495823--0.75491030) × cos(-0.76564449) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.720935874477963 × 6371000     		do = 220.146442130041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75495823--0.75491030) × cos(-0.76567905) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.720911923905965 × 6371000     		du = 220.139128534756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76564449)-sin(-0.76567905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720935874477963-0.720911923905965)×R²
    abs(-0.75491030--0.75495823)×2.39505719979993e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39505719979993e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39505719979993e-05×40589641000000     		ar = 48471.4259305139m²