Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49785 / 83417
↖ ↑ ↗
← S 44.010596°
W 43.261414°		 ← 219.67 m → S 44.010596°
W 43.258667°		 →
↑
219.61 m
↓
↑
219.61 m
↓
S 44.012571°
W 43.261414°		 ← 219.66 m →
48 240 m²		 S 44.012571°
W 43.258667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379833221435547 y=0.636425018310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379833221435547 × 217)
    floor (0.379833221435547 × 131072)
    floor (49785.5)     		tx = 49785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636425018310547 × 217)
    floor (0.636425018310547 × 131072)
    floor (83417.5)     		ty = 83417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49785 / 83417 ti = "17/49785/83417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49785/83417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49785 ÷ 217
    49785 ÷ 131072     		x = 0.379829406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83417 ÷ 217
    83417 ÷ 131072     		y = 0.636421203613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379829406738281 × 2 - 1) × π
    -0.240341186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75505411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636421203613281 × 2 - 1) × π
    -0.272842407226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.857159702106224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75505411} λ = -0.75505411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857159702106224))-π/2
    2×atan(0.424365697192119)-π/2
    2×0.401333264601887-π/2
    0.802666529203773-1.57079632675     		φ = -0.76812980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75505411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.261414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76812980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.010596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49785 KachelY 83417 -0.75505411 -0.76812980 -43.261414 -44.010596
    Oben rechts KachelX + 1 49786 KachelY 83417 -0.75500617 -0.76812980 -43.258667 -44.010596
    Unten links KachelX 49785 KachelY + 1 83418 -0.75505411 -0.76816427 -43.261414 -44.012571
    Unten rechts KachelX + 1 49786 KachelY + 1 83418 -0.75500617 -0.76816427 -43.258667 -44.012571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76812980--0.76816427) × R
    3.44700000000087e-05 × 6371000     		dl = 219.608370000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76812980--0.76816427) × R
    3.44700000000087e-05 × 6371000     		dr = 219.608370000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75505411--0.75500617) × cos(-0.76812980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719211325476229 × 6371000     		do = 219.665651299814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75505411--0.75500617) × cos(-0.76816427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7191873755899 × 6371000     		du = 219.658336388059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76812980)-sin(-0.76816427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719211325476229-0.7191873755899)×R²
    abs(-0.75500617--0.75505411)×2.39498863285892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39498863285892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39498863285892e-05×40589641000000     		ar = 48239.6124240037m²