Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49785 / 58384
↖ ↑ ↗
← N 19.269666°
W 43.261414°		 ← 288.31 m → N 19.269666°
W 43.258667°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
N 19.267072°
W 43.261414°		 ← 288.32 m →
83 137 m²		 N 19.267072°
W 43.258667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379833221435547 y=0.445438385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379833221435547 × 217)
    floor (0.379833221435547 × 131072)
    floor (49785.5)     		tx = 49785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445438385009766 × 217)
    floor (0.445438385009766 × 131072)
    floor (58384.5)     		ty = 58384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49785 / 58384 ti = "17/49785/58384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49785/58384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49785 ÷ 217
    49785 ÷ 131072     		x = 0.379829406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58384 ÷ 217
    58384 ÷ 131072     		y = 0.4454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379829406738281 × 2 - 1) × π
    -0.240341186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75505411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    0.109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.342844706082642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75505411} λ = -0.75505411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342844706082642))-π/2
    2×atan(1.40894994358021)-π/2
    2×0.953557715983451-π/2
    1.9071154319669-1.57079632675     		φ = 0.33631911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75505411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.261414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33631911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.269666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49785 KachelY 58384 -0.75505411 0.33631911 -43.261414 19.269666
    Oben rechts KachelX + 1 49786 KachelY 58384 -0.75500617 0.33631911 -43.258667 19.269666
    Unten links KachelX 49785 KachelY + 1 58385 -0.75505411 0.33627385 -43.261414 19.267072
    Unten rechts KachelX + 1 49786 KachelY + 1 58385 -0.75500617 0.33627385 -43.258667 19.267072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33631911-0.33627385) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33631911-0.33627385) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75505411--0.75500617) × cos(0.33631911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943975805397719 × 6371000     		do = 288.314508905505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75505411--0.75500617) × cos(0.33627385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94399074089458 × 6371000     		du = 288.319070590686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33631911)-sin(0.33627385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943975805397719-0.94399074089458)×R²
    abs(-0.75500617--0.75505411)×1.4935496860824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4935496860824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4935496860824e-05×40589641000000     		ar = 83136.5672805085m²