Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49784 / 83416
↖ ↑ ↗
← S 44.008620°
W 43.264160°		 ← 219.63 m → S 44.008620°
W 43.261414°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
S 44.010596°
W 43.264160°		 ← 219.62 m →
48 245 m²		 S 44.010596°
W 43.261414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379825592041016 y=0.636417388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379825592041016 × 217)
    floor (0.379825592041016 × 131072)
    floor (49784.5)     		tx = 49784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636417388916016 × 217)
    floor (0.636417388916016 × 131072)
    floor (83416.5)     		ty = 83416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49784 / 83416 ti = "17/49784/83416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49784/83416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49784 ÷ 217
    49784 ÷ 131072     		x = 0.37982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83416 ÷ 217
    83416 ÷ 131072     		y = 0.63641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75510204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.2728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.857111765206604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75510204} λ = -0.75510204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857111765206604))-π/2
    2×atan(0.42438604045554)-π/2
    2×0.401350503269556-π/2
    0.802701006539112-1.57079632675     		φ = -0.76809532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75510204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76809532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.008620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49784 KachelY 83416 -0.75510204 -0.76809532 -43.264160 -44.008620
    Oben rechts KachelX + 1 49785 KachelY 83416 -0.75505411 -0.76809532 -43.261414 -44.008620
    Unten links KachelX 49784 KachelY + 1 83417 -0.75510204 -0.76812980 -43.264160 -44.010596
    Unten rechts KachelX + 1 49785 KachelY + 1 83417 -0.75505411 -0.76812980 -43.261414 -44.010596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76809532--0.76812980) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dl = 219.672079999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76809532--0.76812980) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dr = 219.672079999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75510204--0.75505411) × cos(-0.76809532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.71923528145567 × 6371000     		do = 219.627145593059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75510204--0.75505411) × cos(-0.76812980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.719211325476229 × 6371000     		du = 219.619830346546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76809532)-sin(-0.76812980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71923528145567-0.719211325476229)×R²
    abs(-0.75505411--0.75510204)×2.39559794412703e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39559794412703e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39559794412703e-05×40589641000000     		ar = 48245.1484238394m²