Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49784 / 58312
↖ ↑ ↗
← N 19.456234°
W 43.264160°		 ← 287.92 m → N 19.456234°
W 43.261414°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.453644°
W 43.264160°		 ← 287.93 m →
82 914 m²		 N 19.453644°
W 43.261414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379825592041016 y=0.444889068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379825592041016 × 217)
    floor (0.379825592041016 × 131072)
    floor (49784.5)     		tx = 49784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444889068603516 × 217)
    floor (0.444889068603516 × 131072)
    floor (58312.5)     		ty = 58312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49784 / 58312 ti = "17/49784/58312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49784/58312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49784 ÷ 217
    49784 ÷ 131072     		x = 0.37982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58312 ÷ 217
    58312 ÷ 131072     		y = 0.44488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75510204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44488525390625 × 2 - 1) × π
    0.1102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.346296162855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75510204} λ = -0.75510204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346296162855286))-π/2
    2×atan(1.41382127516466)-π/2
    2×0.955185831536607-π/2
    1.91037166307321-1.57079632675     		φ = 0.33957534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75510204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33957534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.456234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49784 KachelY 58312 -0.75510204 0.33957534 -43.264160 19.456234
    Oben rechts KachelX + 1 49785 KachelY 58312 -0.75505411 0.33957534 -43.261414 19.456234
    Unten links KachelX 49784 KachelY + 1 58313 -0.75510204 0.33953014 -43.264160 19.453644
    Unten rechts KachelX + 1 49785 KachelY + 1 58313 -0.75505411 0.33953014 -43.261414 19.453644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33957534-0.33953014) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33957534-0.33953014) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75510204--0.75505411) × cos(0.33957534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942896199146282 × 6371000     		do = 287.924697450769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75510204--0.75505411) × cos(0.33953014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942911253702467 × 6371000     		du = 287.929294540607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33957534)-sin(0.33953014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942896199146282-0.942911253702467)×R²
    abs(-0.75505411--0.75510204)×1.50545561848903e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50545561848903e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50545561848903e-05×40589641000000     		ar = 82914.1067094754m²