Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49784 / 58280
↖ ↑ ↗
← N 19.539084°
W 43.264160°		 ← 287.78 m → N 19.539084°
W 43.261414°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.536495°
W 43.264160°		 ← 287.78 m →
82 835 m²		 N 19.536495°
W 43.261414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379825592041016 y=0.444644927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379825592041016 × 217)
    floor (0.379825592041016 × 131072)
    floor (49784.5)     		tx = 49784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444644927978516 × 217)
    floor (0.444644927978516 × 131072)
    floor (58280.5)     		ty = 58280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49784 / 58280 ti = "17/49784/58280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49784/58280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49784 ÷ 217
    49784 ÷ 131072     		x = 0.37982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58280 ÷ 217
    58280 ÷ 131072     		y = 0.44464111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75510204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    0.1107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.347830143643127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75510204} λ = -0.75510204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347830143643127))-π/2
    2×atan(1.41599171411843)-π/2
    2×0.955908838887178-π/2
    1.91181767777436-1.57079632675     		φ = 0.34102135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75510204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.264160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34102135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.539084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49784 KachelY 58280 -0.75510204 0.34102135 -43.264160 19.539084
    Oben rechts KachelX + 1 49785 KachelY 58280 -0.75505411 0.34102135 -43.261414 19.539084
    Unten links KachelX 49784 KachelY + 1 58281 -0.75510204 0.34097617 -43.264160 19.536495
    Unten rechts KachelX + 1 49785 KachelY + 1 58281 -0.75505411 0.34097617 -43.261414 19.536495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34102135-0.34097617) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34102135-0.34097617) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75510204--0.75505411) × cos(0.34102135) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942413566826039 × 6371000     		do = 287.777319865716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75510204--0.75505411) × cos(0.34097617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942428676306179 × 6371000     		du = 287.781933727244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34102135)-sin(0.34097617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942413566826039-0.942428676306179)×R²
    abs(-0.75505411--0.75510204)×1.51094801393858e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51094801393858e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51094801393858e-05×40589641000000     		ar = 82835.0000389176m²