Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49783 / 58380
↖ ↑ ↗
← N 19.280036°
W 43.266907°		 ← 288.30 m → N 19.280036°
W 43.264160°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.277443°
W 43.266907°		 ← 288.30 m →
83 095 m²		 N 19.277443°
W 43.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379817962646484 y=0.445407867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379817962646484 × 217)
    floor (0.379817962646484 × 131072)
    floor (49783.5)     		tx = 49783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445407867431641 × 217)
    floor (0.445407867431641 × 131072)
    floor (58380.5)     		ty = 58380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49783 / 58380 ti = "17/49783/58380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49783/58380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49783 ÷ 217
    49783 ÷ 131072     		x = 0.379814147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58380 ÷ 217
    58380 ÷ 131072     		y = 0.445404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379814147949219 × 2 - 1) × π
    -0.240371704101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.75514998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445404052734375 × 2 - 1) × π
    0.10919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.343036453681122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75514998} λ = -0.75514998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343036453681122))-π/2
    2×atan(1.40922013225146)-π/2
    2×0.953648215666545-π/2
    1.90729643133309-1.57079632675     		φ = 0.33650010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75514998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.266907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33650010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.280036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49783 KachelY 58380 -0.75514998 0.33650010 -43.266907 19.280036
    Oben rechts KachelX + 1 49784 KachelY 58380 -0.75510204 0.33650010 -43.264160 19.280036
    Unten links KachelX 49783 KachelY + 1 58381 -0.75514998 0.33645486 -43.266907 19.277443
    Unten rechts KachelX + 1 49784 KachelY + 1 58381 -0.75510204 0.33645486 -43.264160 19.277443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33650010-0.33645486) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33650010-0.33645486) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75514998--0.75510204) × cos(0.33650010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943916060582819 × 6371000     		do = 288.296261301203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75514998--0.75510204) × cos(0.33645486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94393099720932 × 6371000     		du = 288.300823331405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33650010)-sin(0.33645486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943916060582819-0.94393099720932)×R²
    abs(-0.75510204--0.75514998)×1.49366265006501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49366265006501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49366265006501e-05×40589641000000     		ar = 83094.570606629m²