Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49782 / 58295
↖ ↑ ↗
← N 19.500253°
W 43.269654°		 ← 287.91 m → N 19.500253°
W 43.266907°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.497664°
W 43.269654°		 ← 287.91 m →
82 872 m²		 N 19.497664°
W 43.266907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379810333251953 y=0.444759368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379810333251953 × 217)
    floor (0.379810333251953 × 131072)
    floor (49782.5)     		tx = 49782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444759368896484 × 217)
    floor (0.444759368896484 × 131072)
    floor (58295.5)     		ty = 58295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49782 / 58295 ti = "17/49782/58295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49782/58295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49782 ÷ 217
    49782 ÷ 131072     		x = 0.379806518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58295 ÷ 217
    58295 ÷ 131072     		y = 0.444755554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379806518554688 × 2 - 1) × π
    -0.240386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75519792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444755554199219 × 2 - 1) × π
    0.110488891601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.347111090148827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75519792} λ = -0.75519792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347111090148827))-π/2
    2×atan(1.41497390630148)-π/2
    2×0.955569975284517-π/2
    1.91113995056903-1.57079632675     		φ = 0.34034362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75519792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.269654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34034362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.500253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49782 KachelY 58295 -0.75519792 0.34034362 -43.269654 19.500253
    Oben rechts KachelX + 1 49783 KachelY 58295 -0.75514998 0.34034362 -43.266907 19.500253
    Unten links KachelX 49782 KachelY + 1 58296 -0.75519792 0.34029844 -43.269654 19.497664
    Unten rechts KachelX + 1 49783 KachelY + 1 58296 -0.75514998 0.34029844 -43.266907 19.497664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34034362-0.34029844) × R
    4.51800000000335e-05 × 6371000     		dl = 287.841780000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34034362-0.34029844) × R
    4.51800000000335e-05 × 6371000     		dr = 287.841780000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75519792--0.75514998) × cos(0.34034362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942640017038261 × 6371000     		do = 287.906524757335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75519792--0.75514998) × cos(0.34029844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942655097658148 × 6371000     		du = 287.911130766823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34034362)-sin(0.34029844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942640017038261-0.942655097658148)×R²
    abs(-0.75514998--0.75519792)×1.50806198864206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50806198864206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50806198864206e-05×40589641000000     		ar = 82872.1894748913m²