Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49781 / 58301
↖ ↑ ↗
← N 19.484718°
W 43.272400°		 ← 287.87 m → N 19.484718°
W 43.269654°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.482129°
W 43.272400°		 ← 287.88 m →
82 881 m²		 N 19.482129°
W 43.269654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379802703857422 y=0.444805145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379802703857422 × 217)
    floor (0.379802703857422 × 131072)
    floor (49781.5)     		tx = 49781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444805145263672 × 217)
    floor (0.444805145263672 × 131072)
    floor (58301.5)     		ty = 58301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49781 / 58301 ti = "17/49781/58301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49781/58301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49781 ÷ 217
    49781 ÷ 131072     		x = 0.379798889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58301 ÷ 217
    58301 ÷ 131072     		y = 0.444801330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379798889160156 × 2 - 1) × π
    -0.240402221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75524585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444801330566406 × 2 - 1) × π
    0.110397338867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.346823468751106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75524585} λ = -0.75524585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346823468751106))-π/2
    2×atan(1.41456698805081)-π/2
    2×0.955434407058806-π/2
    1.91086881411761-1.57079632675     		φ = 0.34007249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75524585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.272400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34007249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.484718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49781 KachelY 58301 -0.75524585 0.34007249 -43.272400 19.484718
    Oben rechts KachelX + 1 49782 KachelY 58301 -0.75519792 0.34007249 -43.269654 19.484718
    Unten links KachelX 49781 KachelY + 1 58302 -0.75524585 0.34002730 -43.272400 19.482129
    Unten rechts KachelX + 1 49782 KachelY + 1 58302 -0.75519792 0.34002730 -43.269654 19.482129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34007249-0.34002730) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dl = 287.90549000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34007249-0.34002730) × R
    4.51900000000283e-05 × 6371000     		dr = 287.90549000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75524585--0.75519792) × cos(0.34007249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942730488572064 × 6371000     		do = 287.874095733434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75524585--0.75519792) × cos(0.34002730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942745560979419 × 6371000     		du = 287.87869827434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34007249)-sin(0.34002730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942730488572064-0.942745560979419)×R²
    abs(-0.75519792--0.75524585)×1.50724073546549e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50724073546549e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50724073546549e-05×40589641000000     		ar = 82881.1951530041m²