Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49780 / 80568
↖ ↑ ↗
← S 38.117272°
W 43.275146°		 ← 240.29 m → S 38.117272°
W 43.272400°		 →
↑
240.31 m
↓
↑
240.31 m
↓
S 38.119433°
W 43.275146°		 ← 240.29 m →
57 745 m²		 S 38.119433°
W 43.272400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379795074462891 y=0.614688873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379795074462891 × 217)
    floor (0.379795074462891 × 131072)
    floor (49780.5)     		tx = 49780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614688873291016 × 217)
    floor (0.614688873291016 × 131072)
    floor (80568.5)     		ty = 80568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49780 / 80568 ti = "17/49780/80568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49780/80568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49780 ÷ 217
    49780 ÷ 131072     		x = 0.379791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80568 ÷ 217
    80568 ÷ 131072     		y = 0.61468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.24041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75529379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.720587475088684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75529379} λ = -0.75529379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720587475088684))-π/2
    2×atan(0.486466385114456)-π/2
    2×0.452762217248276-π/2
    0.905524434496552-1.57079632675     		φ = -0.66527189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75529379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.275146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66527189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.117272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49780 KachelY 80568 -0.75529379 -0.66527189 -43.275146 -38.117272
    Oben rechts KachelX + 1 49781 KachelY 80568 -0.75524585 -0.66527189 -43.272400 -38.117272
    Unten links KachelX 49780 KachelY + 1 80569 -0.75529379 -0.66530961 -43.275146 -38.119433
    Unten rechts KachelX + 1 49781 KachelY + 1 80569 -0.75524585 -0.66530961 -43.272400 -38.119433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66527189--0.66530961) × R
    3.77200000000188e-05 × 6371000     		dl = 240.31412000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66527189--0.66530961) × R
    3.77200000000188e-05 × 6371000     		dr = 240.31412000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75529379--0.75524585) × cos(-0.66527189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786748983836813 × 6371000     		do = 240.293390582449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75529379--0.75524585) × cos(-0.66530961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786725699737124 × 6371000     		du = 240.286279019071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66527189)-sin(-0.66530961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786748983836813-0.786725699737124)×R²
    abs(-0.75524585--0.75529379)×2.32840996884365e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32840996884365e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32840996884365e-05×40589641000000     		ar = 57745.0402020107m²