Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49779 / 83281
↖ ↑ ↗
← S 43.741336°
W 43.277893°		 ← 220.66 m → S 43.741336°
W 43.275146°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
S 43.743321°
W 43.277893°		 ← 220.65 m →
48 683 m²		 S 43.743321°
W 43.275146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379787445068359 y=0.635387420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379787445068359 × 217)
    floor (0.379787445068359 × 131072)
    floor (49779.5)     		tx = 49779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635387420654297 × 217)
    floor (0.635387420654297 × 131072)
    floor (83281.5)     		ty = 83281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49779 / 83281 ti = "17/49779/83281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49779/83281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49779 ÷ 217
    49779 ÷ 131072     		x = 0.379783630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83281 ÷ 217
    83281 ÷ 131072     		y = 0.635383605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379783630371094 × 2 - 1) × π
    -0.240432739257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75534173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635383605957031 × 2 - 1) × π
    -0.270767211914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.850640283757896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75534173} λ = -0.75534173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850640283757896))-π/2
    2×atan(0.427141352703438)-π/2
    2×0.403682993433762-π/2
    0.807365986867524-1.57079632675     		φ = -0.76343034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75534173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.277893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76343034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.741336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49779 KachelY 83281 -0.75534173 -0.76343034 -43.277893 -43.741336
    Oben rechts KachelX + 1 49780 KachelY 83281 -0.75529379 -0.76343034 -43.275146 -43.741336
    Unten links KachelX 49779 KachelY + 1 83282 -0.75534173 -0.76346497 -43.277893 -43.743321
    Unten rechts KachelX + 1 49780 KachelY + 1 83282 -0.75529379 -0.76346497 -43.275146 -43.743321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76343034--0.76346497) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76343034--0.76346497) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75534173--0.75529379) × cos(-0.76343034) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.722468515932916 × 6371000     		do = 220.660481105879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75534173--0.75529379) × cos(-0.76346497) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.722444572185399 × 6371000     		du = 220.653168069075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76343034)-sin(-0.76346497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722468515932916-0.722444572185399)×R²
    abs(-0.75529379--0.75534173)×2.39437475166859e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39437475166859e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39437475166859e-05×40589641000000     		ar = 48683.0143226261m²