Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49778 / 80567
↖ ↑ ↗
← S 38.115111°
W 43.280639°		 ← 240.25 m → S 38.115111°
W 43.277893°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
S 38.117272°
W 43.280639°		 ← 240.24 m →
57 719 m²		 S 38.117272°
W 43.277893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379779815673828 y=0.614681243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379779815673828 × 217)
    floor (0.379779815673828 × 131072)
    floor (49778.5)     		tx = 49778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614681243896484 × 217)
    floor (0.614681243896484 × 131072)
    floor (80567.5)     		ty = 80567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49778 / 80567 ti = "17/49778/80567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49778/80567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49778 ÷ 217
    49778 ÷ 131072     		x = 0.379776000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80567 ÷ 217
    80567 ÷ 131072     		y = 0.614677429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379776000976562 × 2 - 1) × π
    -0.240447998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75538966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614677429199219 × 2 - 1) × π
    -0.229354858398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.720539538189064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75538966} λ = -0.75538966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720539538189064))-π/2
    2×atan(0.486489705363674)-π/2
    2×0.452781074680765-π/2
    0.905562149361531-1.57079632675     		φ = -0.66523418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75538966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.280639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66523418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.115111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49778 KachelY 80567 -0.75538966 -0.66523418 -43.280639 -38.115111
    Oben rechts KachelX + 1 49779 KachelY 80567 -0.75534173 -0.66523418 -43.277893 -38.115111
    Unten links KachelX 49778 KachelY + 1 80568 -0.75538966 -0.66527189 -43.280639 -38.117272
    Unten rechts KachelX + 1 49779 KachelY + 1 80568 -0.75534173 -0.66527189 -43.277893 -38.117272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66523418--0.66527189) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66523418--0.66527189) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75538966--0.75534173) × cos(-0.66523418) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.786772260644682 × 6371000     		do = 240.25037465774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75538966--0.75534173) × cos(-0.66527189) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.786748983836813 × 6371000     		du = 240.243266804437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66523418)-sin(-0.66527189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786772260644682-0.786748983836813)×R²
    abs(-0.75534173--0.75538966)×2.3276807869288e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3276807869288e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3276807869288e-05×40589641000000     		ar = 57719.3971886538m²