Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49777 / 83340
↖ ↑ ↗
← S 43.858297°
W 43.283386°		 ← 220.23 m → S 43.858297°
W 43.280639°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
S 43.860277°
W 43.283386°		 ← 220.22 m →
48 504 m²		 S 43.860277°
W 43.280639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379772186279297 y=0.635837554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379772186279297 × 217)
    floor (0.379772186279297 × 131072)
    floor (49777.5)     		tx = 49777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635837554931641 × 217)
    floor (0.635837554931641 × 131072)
    floor (83340.5)     		ty = 83340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49777 / 83340 ti = "17/49777/83340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49777/83340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49777 ÷ 217
    49777 ÷ 131072     		x = 0.379768371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83340 ÷ 217
    83340 ÷ 131072     		y = 0.635833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379768371582031 × 2 - 1) × π
    -0.240463256835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75543760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.27166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.85346856083548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75543760} λ = -0.75543760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85346856083548))-π/2
    2×atan(0.42593498538138)-π/2
    2×0.402662321849644-π/2
    0.805324643699288-1.57079632675     		φ = -0.76547168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75543760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.283386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76547168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.858297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49777 KachelY 83340 -0.75543760 -0.76547168 -43.283386 -43.858297
    Oben rechts KachelX + 1 49778 KachelY 83340 -0.75538966 -0.76547168 -43.280639 -43.858297
    Unten links KachelX 49777 KachelY + 1 83341 -0.75543760 -0.76550625 -43.283386 -43.860277
    Unten rechts KachelX + 1 49778 KachelY + 1 83341 -0.75538966 -0.76550625 -43.280639 -43.860277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76547168--0.76550625) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dl = 220.245470000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76547168--0.76550625) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dr = 220.245470000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75543760--0.75538966) × cos(-0.76547168) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721055621349935 × 6371000     		do = 220.228946732329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75543760--0.75538966) × cos(-0.76550625) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.721031668154857 × 6371000     		du = 220.221630809997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76547168)-sin(-0.76550625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721055621349935-0.721031668154857)×R²
    abs(-0.75538966--0.75543760)×2.39531950778638e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39531950778638e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39531950778638e-05×40589641000000     		ar = 48503.6222361549m²