Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49777 / 58287
↖ ↑ ↗
← N 19.520964°
W 43.283386°		 ← 287.87 m → N 19.520964°
W 43.280639°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.518376°
W 43.283386°		 ← 287.87 m →
82 862 m²		 N 19.518376°
W 43.280639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379772186279297 y=0.444698333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379772186279297 × 217)
    floor (0.379772186279297 × 131072)
    floor (49777.5)     		tx = 49777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444698333740234 × 217)
    floor (0.444698333740234 × 131072)
    floor (58287.5)     		ty = 58287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49777 / 58287 ti = "17/49777/58287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49777/58287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49777 ÷ 217
    49777 ÷ 131072     		x = 0.379768371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58287 ÷ 217
    58287 ÷ 131072     		y = 0.444694519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379768371582031 × 2 - 1) × π
    -0.240463256835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75543760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444694519042969 × 2 - 1) × π
    0.110610961914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.347494585345787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75543760} λ = -0.75543760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347494585345787))-π/2
    2×atan(1.41551664606076)-π/2
    2×0.955750712671049-π/2
    1.9115014253421-1.57079632675     		φ = 0.34070510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75543760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.283386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34070510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.520964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49777 KachelY 58287 -0.75543760 0.34070510 -43.283386 19.520964
    Oben rechts KachelX + 1 49778 KachelY 58287 -0.75538966 0.34070510 -43.280639 19.520964
    Unten links KachelX 49777 KachelY + 1 58288 -0.75543760 0.34065992 -43.283386 19.518376
    Unten rechts KachelX + 1 49778 KachelY + 1 58288 -0.75538966 0.34065992 -43.280639 19.518376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34070510-0.34065992) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34070510-0.34065992) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75543760--0.75538966) × cos(0.34070510) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942519289446384 × 6371000     		do = 287.869651443914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75543760--0.75538966) × cos(0.34065992) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94253438546029 × 6371000     		du = 287.874262155132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34070510)-sin(0.34065992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942519289446384-0.94253438546029)×R²
    abs(-0.75538966--0.75543760)×1.50960139061462e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50960139061462e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50960139061462e-05×40589641000000     		ar = 82861.5764713524m²