Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49776 / 83343
↖ ↑ ↗
← S 43.864238°
W 43.286133°		 ← 220.21 m → S 43.864238°
W 43.283386°		 →
↑
220.18 m
↓
↑
220.18 m
↓
S 43.866218°
W 43.286133°		 ← 220.20 m →
48 485 m²		 S 43.866218°
W 43.283386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379764556884766 y=0.635860443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379764556884766 × 217)
    floor (0.379764556884766 × 131072)
    floor (49776.5)     		tx = 49776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635860443115234 × 217)
    floor (0.635860443115234 × 131072)
    floor (83343.5)     		ty = 83343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49776 / 83343 ti = "17/49776/83343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49776/83343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49776 ÷ 217
    49776 ÷ 131072     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83343 ÷ 217
    83343 ÷ 131072     		y = 0.635856628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635856628417969 × 2 - 1) × π
    -0.271713256835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.85361237153434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85361237153434))-π/2
    2×atan(0.425873735777743)-π/2
    2×0.40261047667653-π/2
    0.805220953353061-1.57079632675     		φ = -0.76557537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76557537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.864238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49776 KachelY 83343 -0.75548554 -0.76557537 -43.286133 -43.864238
    Oben rechts KachelX + 1 49777 KachelY 83343 -0.75543760 -0.76557537 -43.283386 -43.864238
    Unten links KachelX 49776 KachelY + 1 83344 -0.75548554 -0.76560993 -43.286133 -43.866218
    Unten rechts KachelX + 1 49777 KachelY + 1 83344 -0.75543760 -0.76560993 -43.283386 -43.866218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76557537--0.76560993) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dl = 220.181760000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76557537--0.76560993) × R
    3.45600000000168e-05 × 6371000     		dr = 220.181760000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75543760) × cos(-0.76557537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720983773038687 × 6371000     		do = 220.207002408189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75543760) × cos(-0.76560993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72095982418888 × 6371000     		du = 220.199687813014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76557537)-sin(-0.76560993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720983773038687-0.72095982418888)×R²
    abs(-0.75543760--0.75548554)×2.39488498069429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39488498069429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39488498069429e-05×40589641000000     		ar = 48484.7600890999m²