Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49776 / 80589
↖ ↑ ↗
← S 38.162636°
W 43.286133°		 ← 240.14 m → S 38.162636°
W 43.283386°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
S 38.164796°
W 43.286133°		 ← 240.14 m →
57 663 m²		 S 38.164796°
W 43.283386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379764556884766 y=0.614849090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379764556884766 × 217)
    floor (0.379764556884766 × 131072)
    floor (49776.5)     		tx = 49776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614849090576172 × 217)
    floor (0.614849090576172 × 131072)
    floor (80589.5)     		ty = 80589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49776 / 80589 ti = "17/49776/80589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49776/80589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49776 ÷ 217
    49776 ÷ 131072     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80589 ÷ 217
    80589 ÷ 131072     		y = 0.614845275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614845275878906 × 2 - 1) × π
    -0.229690551757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.721594149980705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721594149980705))-π/2
    2×atan(0.485976918027198)-π/2
    2×0.452366340076643-π/2
    0.904732680153287-1.57079632675     		φ = -0.66606365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66606365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.162636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49776 KachelY 80589 -0.75548554 -0.66606365 -43.286133 -38.162636
    Oben rechts KachelX + 1 49777 KachelY 80589 -0.75543760 -0.66606365 -43.283386 -38.162636
    Unten links KachelX 49776 KachelY + 1 80590 -0.75548554 -0.66610134 -43.286133 -38.164796
    Unten rechts KachelX + 1 49777 KachelY + 1 80590 -0.75543760 -0.66610134 -43.283386 -38.164796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66606365--0.66610134) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dl = 240.122989999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66606365--0.66610134) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dr = 240.122989999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75543760) × cos(-0.66606365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786260005166029 × 6371000     		do = 240.144043910081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75543760) × cos(-0.66610134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786236716115347 × 6371000     		du = 240.136930834542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66606365)-sin(-0.66610134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786260005166029-0.786236716115347)×R²
    abs(-0.75543760--0.75548554)×2.32890506827177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32890506827177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32890506827177e-05×40589641000000     		ar = 57663.2518547502m²