Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49775 / 83353
↖ ↑ ↗
← S 43.884037°
W 43.288879°		 ← 220.09 m → S 43.884037°
W 43.286133°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 43.886016°
W 43.288879°		 ← 220.08 m →
48 445 m²		 S 43.886016°
W 43.286133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379756927490234 y=0.635936737060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379756927490234 × 217)
    floor (0.379756927490234 × 131072)
    floor (49775.5)     		tx = 49775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635936737060547 × 217)
    floor (0.635936737060547 × 131072)
    floor (83353.5)     		ty = 83353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49775 / 83353 ti = "17/49775/83353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49775/83353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49775 ÷ 217
    49775 ÷ 131072     		x = 0.379753112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83353 ÷ 217
    83353 ÷ 131072     		y = 0.635932922363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379753112792969 × 2 - 1) × π
    -0.240493774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.75553347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635932922363281 × 2 - 1) × π
    -0.271865844726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.85409174053054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75553347} λ = -0.75553347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85409174053054))-π/2
    2×atan(0.425669634036447)-π/2
    2×0.402437696745342-π/2
    0.804875393490684-1.57079632675     		φ = -0.76592093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75553347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.288879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76592093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.884037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49775 KachelY 83353 -0.75553347 -0.76592093 -43.288879 -43.884037
    Oben rechts KachelX + 1 49776 KachelY 83353 -0.75548554 -0.76592093 -43.286133 -43.884037
    Unten links KachelX 49775 KachelY + 1 83354 -0.75553347 -0.76595548 -43.288879 -43.886016
    Unten rechts KachelX + 1 49776 KachelY + 1 83354 -0.75548554 -0.76595548 -43.286133 -43.886016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76592093--0.76595548) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dl = 220.118049999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76592093--0.76595548) × R
    3.45499999999666e-05 × 6371000     		dr = 220.118049999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75553347--0.75548554) × cos(-0.76592093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720744273522152 × 6371000     		do = 220.087934473734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75553347--0.75548554) × cos(-0.76595548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72072032299579 × 6371000     		du = 220.080620892385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76592093)-sin(-0.76595548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720744273522152-0.72072032299579)×R²
    abs(-0.75548554--0.75553347)×2.39505263617268e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39505263617268e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39505263617268e-05×40589641000000     		ar = 48444.5220439572m²