Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49773 / 80562
↖ ↑ ↗
← S 38.104305°
W 43.294373°		 ← 240.34 m → S 38.104305°
W 43.291626°		 →
↑
240.31 m
↓
↑
240.31 m
↓
S 38.106467°
W 43.294373°		 ← 240.33 m →
57 755 m²		 S 38.106467°
W 43.291626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379741668701172 y=0.614643096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379741668701172 × 217)
    floor (0.379741668701172 × 131072)
    floor (49773.5)     		tx = 49773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614643096923828 × 217)
    floor (0.614643096923828 × 131072)
    floor (80562.5)     		ty = 80562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49773 / 80562 ti = "17/49773/80562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49773/80562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49773 ÷ 217
    49773 ÷ 131072     		x = 0.379737854003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80562 ÷ 217
    80562 ÷ 131072     		y = 0.614639282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379737854003906 × 2 - 1) × π
    -0.240524291992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.75562935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614639282226562 × 2 - 1) × π
    -0.229278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.720299853690964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75562935} λ = -0.75562935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720299853690964))-π/2
    2×atan(0.486606323379742)-π/2
    2×0.452875370212644-π/2
    0.905750740425288-1.57079632675     		φ = -0.66504559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75562935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.294373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66504559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.104305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49773 KachelY 80562 -0.75562935 -0.66504559 -43.294373 -38.104305
    Oben rechts KachelX + 1 49774 KachelY 80562 -0.75558141 -0.66504559 -43.291626 -38.104305
    Unten links KachelX 49773 KachelY + 1 80563 -0.75562935 -0.66508331 -43.294373 -38.106467
    Unten rechts KachelX + 1 49774 KachelY + 1 80563 -0.75558141 -0.66508331 -43.291626 -38.106467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66504559--0.66508331) × R
    3.77200000000188e-05 × 6371000     		dl = 240.31412000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66504559--0.66508331) × R
    3.77200000000188e-05 × 6371000     		dr = 240.31412000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75562935--0.75558141) × cos(-0.66504559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786888652584795 × 6371000     		do = 240.336049013156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75562935--0.75558141) × cos(-0.66508331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78686537520132 × 6371000     		du = 240.328939501083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66504559)-sin(-0.66508331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786888652584795-0.78686537520132)×R²
    abs(-0.75558141--0.75562935)×2.3277383474074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3277383474074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3277383474074e-05×40589641000000     		ar = 57755.2918716481m²