Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49772 / 50353
↖ ↑ ↗
← S 69.007643°
E 93.405762°		 ← 218.83 m → S 69.007643°
E 93.411255°		 →
↑
218.84 m
↓
↑
218.84 m
↓
S 69.009611°
E 93.405762°		 ← 218.81 m →
47 888 m²		 S 69.009611°
E 93.411255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759468078613281 y=0.768333435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759468078613281 × 216)
    floor (0.759468078613281 × 65536)
    floor (49772.5)     		tx = 49772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768333435058594 × 216)
    floor (0.768333435058594 × 65536)
    floor (50353.5)     		ty = 50353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49772 / 50353 ti = "16/49772/50353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49772/50353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49772 ÷ 216
    49772 ÷ 65536     		x = 0.75946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50353 ÷ 216
    50353 ÷ 65536     		y = 0.768325805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75946044921875 × 2 - 1) × π
    0.5189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63023808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768325805664062 × 2 - 1) × π
    -0.536651611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68594075963737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63023808} λ = 1.63023808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68594075963737))-π/2
    2×atan(0.185270055355505)-π/2
    2×0.183192872188057-π/2
    0.366385744376115-1.57079632675     		φ = -1.20441058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63023808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.405762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20441058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.007643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49772 KachelY 50353 1.63023808 -1.20441058 93.405762 -69.007643
    Oben rechts KachelX + 1 49773 KachelY 50353 1.63033396 -1.20441058 93.411255 -69.007643
    Unten links KachelX 49772 KachelY + 1 50354 1.63023808 -1.20444493 93.405762 -69.009611
    Unten rechts KachelX + 1 49773 KachelY + 1 50354 1.63033396 -1.20444493 93.411255 -69.009611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20441058--1.20444493) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dl = 218.84384999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20441058--1.20444493) × R
    3.43499999999608e-05 × 6371000     		dr = 218.84384999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63023808-1.63033396) × cos(-1.20441058) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35824341034692 × 6371000     		do = 218.83351741052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63023808-1.63033396) × cos(-1.20444493) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.358211340006114 × 6371000     		du = 218.813927195374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20441058)-sin(-1.20444493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35824341034692-0.358211340006114)×R²
    abs(1.63033396-1.63023808)×3.20703408064338e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.20703408064338e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.20703408064338e-05×40589641000000     		ar = 47888.2258645346m²