Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49771 / 58267
↖ ↑ ↗
← N 19.572730°
W 43.299866°		 ← 287.72 m → N 19.572730°
W 43.297119°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.570142°
W 43.299866°		 ← 287.72 m →
82 781 m²		 N 19.570142°
W 43.297119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379726409912109 y=0.444545745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379726409912109 × 217)
    floor (0.379726409912109 × 131072)
    floor (49771.5)     		tx = 49771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444545745849609 × 217)
    floor (0.444545745849609 × 131072)
    floor (58267.5)     		ty = 58267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49771 / 58267 ti = "17/49771/58267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49771/58267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49771 ÷ 217
    49771 ÷ 131072     		x = 0.379722595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58267 ÷ 217
    58267 ÷ 131072     		y = 0.444541931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379722595214844 × 2 - 1) × π
    -0.240554809570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75572522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444541931152344 × 2 - 1) × π
    0.110916137695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.348453323338188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75572522} λ = -0.75572522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348453323338188))-π/2
    2×atan(1.41687440641243)-π/2
    2×0.95620245477068-π/2
    1.91240490954136-1.57079632675     		φ = 0.34160858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75572522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.299866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34160858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.572730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49771 KachelY 58267 -0.75572522 0.34160858 -43.299866 19.572730
    Oben rechts KachelX + 1 49772 KachelY 58267 -0.75567729 0.34160858 -43.297119 19.572730
    Unten links KachelX 49771 KachelY + 1 58268 -0.75572522 0.34156342 -43.299866 19.570142
    Unten rechts KachelX + 1 49772 KachelY + 1 58268 -0.75567729 0.34156342 -43.297119 19.570142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34160858-0.34156342) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34160858-0.34156342) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75572522--0.75567729) × cos(0.34160858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942217005390467 × 6371000     		do = 287.71729746673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75572522--0.75567729) × cos(0.34156342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942232133172211 × 6371000     		du = 287.721916916873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34160858)-sin(0.34156342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942217005390467-0.942232133172211)×R²
    abs(-0.75567729--0.75572522)×1.5127781744062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5127781744062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5127781744062e-05×40589641000000     		ar = 82781.0626566916m²