Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4977 / 5166
↖ ↑ ↗
← S 42.488302°
E 38.715820°		 ← 3 603.37 m → S 42.488302°
E 38.759766°		 →
↑
3 602.48 m
↓
↑
3 602.48 m
↓
S 42.520700°
E 38.715820°		 ← 3 601.51 m →
12 977 730 m²		 S 42.520700°
E 38.759766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60760498046875 y=0.63067626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60760498046875 × 213)
    floor (0.60760498046875 × 8192)
    floor (4977.5)     		tx = 4977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63067626953125 × 213)
    floor (0.63067626953125 × 8192)
    floor (5166.5)     		ty = 5166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4977 / 5166 ti = "13/4977/5166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4977/5166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4977 ÷ 213
    4977 ÷ 8192     		x = 0.6075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5166 ÷ 213
    5166 ÷ 8192     		y = 0.630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6075439453125 × 2 - 1) × π
    0.215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.67571854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.26123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.820679721495361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67571854} λ = 0.67571854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820679721495361))-π/2
    2×atan(0.440132385364551)-π/2
    2×0.414617781843255-π/2
    0.82923556368651-1.57079632675     		φ = -0.74156076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67571854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.715820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74156076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.488302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4977 KachelY 5166 0.67571854 -0.74156076 38.715820 -42.488302
    Oben rechts KachelX + 1 4978 KachelY 5166 0.67648553 -0.74156076 38.759766 -42.488302
    Unten links KachelX 4977 KachelY + 1 5167 0.67571854 -0.74212621 38.715820 -42.520700
    Unten rechts KachelX + 1 4978 KachelY + 1 5167 0.67648553 -0.74212621 38.759766 -42.520700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74156076--0.74212621) × R
    0.000565449999999967 × 6371000     		dl = 3602.48194999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74156076--0.74212621) × R
    0.000565449999999967 × 6371000     		dr = 3602.48194999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67571854-0.67648553) × cos(-0.74156076) × R
    0.000766990000000023 × 0.737415258111804 × 6371000     		do = 3603.37471070706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67571854-0.67648553) × cos(-0.74212621) × R
    0.000766990000000023 × 0.737033212886984 × 6371000     		du = 3601.5078492795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74156076)-sin(-0.74212621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737415258111804-0.737033212886984)×R²
    abs(0.67648553-0.67571854)×0.000382045224819882×R²
    0.000766990000000023×0.000382045224819882×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382045224819882×40589641000000     		ar = 12977730.032894m²