Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49769 / 83400
↖ ↑ ↗
← S 43.977005°
W 43.305359°		 ← 219.79 m → S 43.977005°
W 43.302612°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
S 43.978981°
W 43.305359°		 ← 219.78 m →
48 295 m²		 S 43.978981°
W 43.302612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379711151123047 y=0.636295318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379711151123047 × 217)
    floor (0.379711151123047 × 131072)
    floor (49769.5)     		tx = 49769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636295318603516 × 217)
    floor (0.636295318603516 × 131072)
    floor (83400.5)     		ty = 83400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49769 / 83400 ti = "17/49769/83400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49769/83400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49769 ÷ 217
    49769 ÷ 131072     		x = 0.379707336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83400 ÷ 217
    83400 ÷ 131072     		y = 0.63629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379707336425781 × 2 - 1) × π
    -0.240585327148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75582110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.2725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.856344774812683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75582110} λ = -0.75582110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856344774812683))-π/2
    2×atan(0.424711665331496)-π/2
    2×0.401626400034724-π/2
    0.803252800069448-1.57079632675     		φ = -0.76754353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75582110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.305359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76754353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.977005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49769 KachelY 83400 -0.75582110 -0.76754353 -43.305359 -43.977005
    Oben rechts KachelX + 1 49770 KachelY 83400 -0.75577316 -0.76754353 -43.302612 -43.977005
    Unten links KachelX 49769 KachelY + 1 83401 -0.75582110 -0.76757802 -43.305359 -43.978981
    Unten rechts KachelX + 1 49770 KachelY + 1 83401 -0.75577316 -0.76757802 -43.302612 -43.978981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76754353--0.76757802) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76754353--0.76757802) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75582110--0.75577316) × cos(-0.76754353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719618537197484 × 6371000     		do = 219.790024241115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75582110--0.75577316) × cos(-0.76757802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719594587961486 × 6371000     		du = 219.782709527988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76754353)-sin(-0.76757802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719618537197484-0.719594587961486)×R²
    abs(-0.75577316--0.75582110)×2.39492359986881e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39492359986881e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39492359986881e-05×40589641000000     		ar = 48294.9309633562m²