Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49765 / 83229
↖ ↑ ↗
← S 43.638063°
W 43.316345°		 ← 220.99 m → S 43.638063°
W 43.313599°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
S 43.640051°
W 43.316345°		 ← 220.99 m →
48 841 m²		 S 43.640051°
W 43.313599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379680633544922 y=0.634990692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379680633544922 × 217)
    floor (0.379680633544922 × 131072)
    floor (49765.5)     		tx = 49765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634990692138672 × 217)
    floor (0.634990692138672 × 131072)
    floor (83229.5)     		ty = 83229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49765 / 83229 ti = "17/49765/83229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49765/83229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49765 ÷ 217
    49765 ÷ 131072     		x = 0.379676818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83229 ÷ 217
    83229 ÷ 131072     		y = 0.634986877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379676818847656 × 2 - 1) × π
    -0.240646362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75601284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634986877441406 × 2 - 1) × π
    -0.269973754882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.848147564977654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75601284} λ = -0.75601284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848147564977654))-π/2
    2×atan(0.428207424131259)-π/2
    2×0.404584224767241-π/2
    0.809168449534482-1.57079632675     		φ = -0.76162788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75601284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.316345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76162788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.638063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49765 KachelY 83229 -0.75601284 -0.76162788 -43.316345 -43.638063
    Oben rechts KachelX + 1 49766 KachelY 83229 -0.75596491 -0.76162788 -43.313599 -43.638063
    Unten links KachelX 49765 KachelY + 1 83230 -0.75601284 -0.76166257 -43.316345 -43.640051
    Unten rechts KachelX + 1 49766 KachelY + 1 83230 -0.75596491 -0.76166257 -43.313599 -43.640051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76162788--0.76166257) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dl = 221.009990000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76162788--0.76166257) × R
    3.46900000000039e-05 × 6371000     		dr = 221.009990000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75601284--0.75596491) × cos(-0.76162788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723713569389086 × 6371000     		do = 220.994644687333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75601284--0.75596491) × cos(-0.76166257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.723689629368059 × 6371000     		du = 220.987334313913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76162788)-sin(-0.76166257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723713569389086-0.723689629368059)×R²
    abs(-0.75596491--0.75601284)×2.39400210277907e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39400210277907e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39400210277907e-05×40589641000000     		ar = 48841.2163845527m²