Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49765 / 58285
↖ ↑ ↗
← N 19.526142°
W 43.316345°		 ← 287.80 m → N 19.526142°
W 43.313599°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.523553°
W 43.316345°		 ← 287.80 m →
82 842 m²		 N 19.523553°
W 43.313599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379680633544922 y=0.444683074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379680633544922 × 217)
    floor (0.379680633544922 × 131072)
    floor (49765.5)     		tx = 49765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444683074951172 × 217)
    floor (0.444683074951172 × 131072)
    floor (58285.5)     		ty = 58285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49765 / 58285 ti = "17/49765/58285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49765/58285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49765 ÷ 217
    49765 ÷ 131072     		x = 0.379676818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58285 ÷ 217
    58285 ÷ 131072     		y = 0.444679260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379676818847656 × 2 - 1) × π
    -0.240646362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75601284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444679260253906 × 2 - 1) × π
    0.110641479492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.347590459145027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75601284} λ = -0.75601284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347590459145027))-π/2
    2×atan(1.41565236352528)-π/2
    2×0.955795893399861-π/2
    1.91159178679972-1.57079632675     		φ = 0.34079546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75601284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.316345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34079546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.526142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49765 KachelY 58285 -0.75601284 0.34079546 -43.316345 19.526142
    Oben rechts KachelX + 1 49766 KachelY 58285 -0.75596491 0.34079546 -43.313599 19.526142
    Unten links KachelX 49765 KachelY + 1 58286 -0.75601284 0.34075028 -43.316345 19.523553
    Unten rechts KachelX + 1 49766 KachelY + 1 58286 -0.75596491 0.34075028 -43.313599 19.523553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34079546-0.34075028) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34079546-0.34075028) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75601284--0.75596491) × cos(0.34079546) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9424890916469 × 6371000     		do = 287.800382278329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75601284--0.75596491) × cos(0.34075028) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942504191508577 × 6371000     		du = 287.804993202744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34079546)-sin(0.34075028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9424890916469-0.942504191508577)×R²
    abs(-0.75596491--0.75601284)×1.50998616771369e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50998616771369e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50998616771369e-05×40589641000000     		ar = 82841.6379420076m²