Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49764 / 80588
↖ ↑ ↗
← S 38.160477°
W 43.319092°		 ← 240.15 m → S 38.160477°
W 43.316345°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
S 38.162636°
W 43.319092°		 ← 240.14 m →
57 665 m²		 S 38.162636°
W 43.316345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379673004150391 y=0.614841461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379673004150391 × 217)
    floor (0.379673004150391 × 131072)
    floor (49764.5)     		tx = 49764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614841461181641 × 217)
    floor (0.614841461181641 × 131072)
    floor (80588.5)     		ty = 80588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49764 / 80588 ti = "17/49764/80588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49764/80588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49764 ÷ 217
    49764 ÷ 131072     		x = 0.379669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80588 ÷ 217
    80588 ÷ 131072     		y = 0.614837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.24066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75606078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.22967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.721546213081085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75606078} λ = -0.75606078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721546213081085))-π/2
    2×atan(0.486000214812319)-π/2
    2×0.452385185789264-π/2
    0.904770371578527-1.57079632675     		φ = -0.66602596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75606078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.319092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66602596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.160477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49764 KachelY 80588 -0.75606078 -0.66602596 -43.319092 -38.160477
    Oben rechts KachelX + 1 49765 KachelY 80588 -0.75601284 -0.66602596 -43.316345 -38.160477
    Unten links KachelX 49764 KachelY + 1 80589 -0.75606078 -0.66606365 -43.319092 -38.162636
    Unten rechts KachelX + 1 49765 KachelY + 1 80589 -0.75601284 -0.66606365 -43.316345 -38.162636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66602596--0.66606365) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dl = 240.122989999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66602596--0.66606365) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dr = 240.122989999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75606078--0.75601284) × cos(-0.66602596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786283293099801 × 6371000     		do = 240.151156644486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75606078--0.75601284) × cos(-0.66606365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786260005166029 × 6371000     		du = 240.144043910081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66602596)-sin(-0.66606365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786283293099801-0.786260005166029)×R²
    abs(-0.75601284--0.75606078)×2.32879337719316e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32879337719316e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32879337719316e-05×40589641000000     		ar = 57664.9598266418m²