Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49760 / 58272
↖ ↑ ↗
← N 19.559790°
W 43.330078°		 ← 287.80 m → N 19.559790°
W 43.327331°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.557202°
W 43.330078°		 ← 287.81 m →
82 823 m²		 N 19.557202°
W 43.327331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379642486572266 y=0.444583892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379642486572266 × 217)
    floor (0.379642486572266 × 131072)
    floor (49760.5)     		tx = 49760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444583892822266 × 217)
    floor (0.444583892822266 × 131072)
    floor (58272.5)     		ty = 58272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49760 / 58272 ti = "17/49760/58272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49760/58272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49760 ÷ 217
    49760 ÷ 131072     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58272 ÷ 217
    58272 ÷ 131072     		y = 0.444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444580078125 × 2 - 1) × π
    0.11083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348213638840088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348213638840088))-π/2
    2×atan(1.41653484427697)-π/2
    2×0.956089532833254-π/2
    1.91217906566651-1.57079632675     		φ = 0.34138274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34138274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.559790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49760 KachelY 58272 -0.75625253 0.34138274 -43.330078 19.559790
    Oben rechts KachelX + 1 49761 KachelY 58272 -0.75620459 0.34138274 -43.327331 19.559790
    Unten links KachelX 49760 KachelY + 1 58273 -0.75625253 0.34133757 -43.330078 19.557202
    Unten rechts KachelX + 1 49761 KachelY + 1 58273 -0.75620459 0.34133757 -43.327331 19.557202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34138274-0.34133757) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34138274-0.34133757) × R
    4.51700000000388e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75620459) × cos(0.34138274) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942292638474371 × 6371000     		do = 287.800426403065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75620459) × cos(0.34133757) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942307759993521 × 6371000     		du = 287.805044904241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34138274)-sin(0.34133757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942292638474371-0.942307759993521)×R²
    abs(-0.75620459--0.75625253)×1.51215191498411e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51215191498411e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51215191498411e-05×40589641000000     		ar = 82823.3158212591m²