Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4976 / 5174
↖ ↑ ↗
← S 42.747012°
E 38.671875°		 ← 3 588.43 m → S 42.747012°
E 38.715820°		 →
↑
3 587.51 m
↓
↑
3 587.51 m
↓
S 42.779276°
E 38.671875°		 ← 3 586.57 m →
12 870 196 m²		 S 42.779276°
E 38.715820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60748291015625 y=0.63165283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60748291015625 × 213)
    floor (0.60748291015625 × 8192)
    floor (4976.5)     		tx = 4976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63165283203125 × 213)
    floor (0.63165283203125 × 8192)
    floor (5174.5)     		ty = 5174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4976 / 5174 ti = "13/4976/5174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4976/5174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4976 ÷ 213
    4976 ÷ 8192     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5174 ÷ 213
    5174 ÷ 8192     		y = 0.631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826815644646729))-π/2
    2×atan(0.437440035345076)-π/2
    2×0.412360109500076-π/2
    0.824720219000152-1.57079632675     		φ = -0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4976 KachelY 5174 0.67495155 -0.74607611 38.671875 -42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 4977 KachelY 5174 0.67571854 -0.74607611 38.715820 -42.747012
    Unten links KachelX 4976 KachelY + 1 5175 0.67495155 -0.74663921 38.671875 -42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 4977 KachelY + 1 5175 0.67571854 -0.74663921 38.715820 -42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74607611--0.74663921) × R
    0.000563100000000039 × 6371000     		dl = 3587.51010000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74607611--0.74663921) × R
    0.000563100000000039 × 6371000     		dr = 3587.51010000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.67571854) × cos(-0.74607611) × R
    0.000766990000000023 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 3588.43497356337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.67571854) × cos(-0.74663921) × R
    0.000766990000000023 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 3586.56673259047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74607611)-sin(-0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.733975577113781)×R²
    abs(0.67571854-0.67495155)×0.000382327542886141×R²
    0.000766990000000023×0.000382327542886141×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382327542886141×40589641000000     		ar = 12870195.8842468m²