Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4976 / 4080
↖ ↑ ↗
← N 66.652977°
W 70.664062°		 ← 968.24 m → N 66.652977°
W 70.642090°		 →
↑
968.39 m
↓
↑
968.39 m
↓
N 66.644268°
W 70.664062°		 ← 968.58 m →
937 805 m²		 N 66.644268°
W 70.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303741455078125 y=0.249053955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303741455078125 × 214)
    floor (0.303741455078125 × 16384)
    floor (4976.5)     		tx = 4976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249053955078125 × 214)
    floor (0.249053955078125 × 16384)
    floor (4080.5)     		ty = 4080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4976 / 4080 ti = "14/4976/4080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4976/4080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4976 ÷ 214
    4976 ÷ 16384     		x = 0.3037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4080 ÷ 214
    4080 ÷ 16384     		y = 0.2490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3037109375 × 2 - 1) × π
    -0.392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23332055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2490234375 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23332055} λ = -1.23332055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57693224990137))-π/2
    2×atan(4.84008484194008)-π/2
    2×1.36705511933703-π/2
    2.73411023867405-1.57079632675     		φ = 1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23332055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4976 KachelY 4080 -1.23332055 1.16331391 -70.664062 66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 4977 KachelY 4080 -1.23293706 1.16331391 -70.642090 66.652977
    Unten links KachelX 4976 KachelY + 1 4081 -1.23332055 1.16316191 -70.664062 66.644268
    Unten rechts KachelX + 1 4977 KachelY + 1 4081 -1.23293706 1.16316191 -70.642090 66.644268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16331391-1.16316191) × R
    0.000152000000000152 × 6371000     		dl = 968.392000000968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16331391-1.16316191) × R
    0.000152000000000152 × 6371000     		dr = 968.392000000968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23332055--1.23293706) × cos(1.16331391) × R
    0.000383489999999931 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 968.2439181716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23332055--1.23293706) × cos(1.16316191) × R
    0.000383489999999931 × 0.396438689087184 × 6371000     		du = 968.584868505846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16331391)-sin(1.16316191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.396438689087184)×R²
    abs(-1.23293706--1.23332055)×0.000139549881427281×R²
    0.000383489999999931×0.000139549881427281×6371000²
    0.000383489999999931×0.000139549881427281×40589641000000     		ar = 937804.753000684m²