Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49756 / 84316
↖ ↑ ↗
← S 45.759859°
W 43.341065°		 ← 213.09 m → S 45.759859°
W 43.338318°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
S 45.761775°
W 43.341065°		 ← 213.08 m →
45 396 m²		 S 45.761775°
W 43.338318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379611968994141 y=0.643283843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379611968994141 × 217)
    floor (0.379611968994141 × 131072)
    floor (49756.5)     		tx = 49756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643283843994141 × 217)
    floor (0.643283843994141 × 131072)
    floor (84316.5)     		ty = 84316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49756 / 84316 ti = "17/49756/84316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49756/84316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49756 ÷ 217
    49756 ÷ 131072     		x = 0.379608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84316 ÷ 217
    84316 ÷ 131072     		y = 0.643280029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.24078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75644428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.28656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900254974864655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75644428} λ = -0.75644428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900254974864655))-π/2
    2×atan(0.406466007911501)-π/2
    2×0.386068063731217-π/2
    0.772136127462434-1.57079632675     		φ = -0.79866020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75644428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.341065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79866020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.759859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49756 KachelY 84316 -0.75644428 -0.79866020 -43.341065 -45.759859
    Oben rechts KachelX + 1 49757 KachelY 84316 -0.75639634 -0.79866020 -43.338318 -45.759859
    Unten links KachelX 49756 KachelY + 1 84317 -0.75644428 -0.79869364 -43.341065 -45.761775
    Unten rechts KachelX + 1 49757 KachelY + 1 84317 -0.75639634 -0.79869364 -43.338318 -45.761775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79866020--0.79869364) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dl = 213.046239999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79866020--0.79869364) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dr = 213.046239999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75644428--0.75639634) × cos(-0.79866020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.697667197433723 × 6371000     		do = 213.085520049781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75644428--0.75639634) × cos(-0.79869364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69764323989198 × 6371000     		du = 213.078202799866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79866020)-sin(-0.79869364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697667197433723-0.69764323989198)×R²
    abs(-0.75639634--0.75644428)×2.39575417422255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39575417422255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39575417422255e-05×40589641000000     		ar = 45396.2893928921m²