Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49756 / 83220
↖ ↑ ↗
← S 43.620171°
W 43.341065°		 ← 221.11 m → S 43.620171°
W 43.338318°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.622159°
W 43.341065°		 ← 221.10 m →
48 880 m²		 S 43.622159°
W 43.338318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379611968994141 y=0.634922027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379611968994141 × 217)
    floor (0.379611968994141 × 131072)
    floor (49756.5)     		tx = 49756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634922027587891 × 217)
    floor (0.634922027587891 × 131072)
    floor (83220.5)     		ty = 83220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49756 / 83220 ti = "17/49756/83220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49756/83220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49756 ÷ 217
    49756 ÷ 131072     		x = 0.379608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83220 ÷ 217
    83220 ÷ 131072     		y = 0.634918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.24078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75644428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.26983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.847716132881073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75644428} λ = -0.75644428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847716132881073))-π/2
    2×atan(0.428392206415661)-π/2
    2×0.40474036463912-π/2
    0.809480729278239-1.57079632675     		φ = -0.76131560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75644428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.341065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76131560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.620171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49756 KachelY 83220 -0.75644428 -0.76131560 -43.341065 -43.620171
    Oben rechts KachelX + 1 49757 KachelY 83220 -0.75639634 -0.76131560 -43.338318 -43.620171
    Unten links KachelX 49756 KachelY + 1 83221 -0.75644428 -0.76135030 -43.341065 -43.622159
    Unten rechts KachelX + 1 49757 KachelY + 1 83221 -0.75639634 -0.76135030 -43.338318 -43.622159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76131560--0.76135030) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76131560--0.76135030) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75644428--0.75639634) × cos(-0.76131560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723929038674958 × 6371000     		do = 221.106562344643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75644428--0.75639634) × cos(-0.76135030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723905099595956 × 6371000     		du = 221.099250733724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76131560)-sin(-0.76135030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723929038674958-0.723905099595956)×R²
    abs(-0.75639634--0.75644428)×2.39390790016669e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39390790016669e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39390790016669e-05×40589641000000     		ar = 48880.0376341873m²