Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49755 / 83387
↖ ↑ ↗
← S 43.951305°
W 43.343811°		 ← 219.84 m → S 43.951305°
W 43.341065°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
S 43.953282°
W 43.343811°		 ← 219.83 m →
48 334 m²		 S 43.953282°
W 43.341065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379604339599609 y=0.636196136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379604339599609 × 217)
    floor (0.379604339599609 × 131072)
    floor (49755.5)     		tx = 49755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636196136474609 × 217)
    floor (0.636196136474609 × 131072)
    floor (83387.5)     		ty = 83387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49755 / 83387 ti = "17/49755/83387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49755/83387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49755 ÷ 217
    49755 ÷ 131072     		x = 0.379600524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83387 ÷ 217
    83387 ÷ 131072     		y = 0.636192321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379600524902344 × 2 - 1) × π
    -0.240798950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75649221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636192321777344 × 2 - 1) × π
    -0.272384643554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.855721595117622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75649221} λ = -0.75649221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855721595117622))-π/2
    2×atan(0.42497641950373)-π/2
    2×0.401850674378366-π/2
    0.803701348756732-1.57079632675     		φ = -0.76709498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75649221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.343811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76709498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.951305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49755 KachelY 83387 -0.75649221 -0.76709498 -43.343811 -43.951305
    Oben rechts KachelX + 1 49756 KachelY 83387 -0.75644428 -0.76709498 -43.341065 -43.951305
    Unten links KachelX 49755 KachelY + 1 83388 -0.75649221 -0.76712949 -43.343811 -43.953282
    Unten rechts KachelX + 1 49756 KachelY + 1 83388 -0.75644428 -0.76712949 -43.341065 -43.953282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76709498--0.76712949) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dl = 219.863209999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76709498--0.76712949) × R
    3.45099999999876e-05 × 6371000     		dr = 219.863209999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75649221--0.75644428) × cos(-0.76709498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.719929924284843 × 6371000     		do = 219.839263137501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75649221--0.75644428) × cos(-0.76712949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.719905972302487 × 6371000     		du = 219.831949111546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76709498)-sin(-0.76712949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719929924284843-0.719905972302487)×R²
    abs(-0.75644428--0.75649221)×2.39519823559409e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39519823559409e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39519823559409e-05×40589641000000     		ar = 48333.7620396956m²