Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49755 / 83383
↖ ↑ ↗
← S 43.943395°
W 43.343811°		 ← 219.87 m → S 43.943395°
W 43.341065°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
S 43.945372°
W 43.343811°		 ← 219.86 m →
48 354 m²		 S 43.945372°
W 43.341065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379604339599609 y=0.636165618896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379604339599609 × 217)
    floor (0.379604339599609 × 131072)
    floor (49755.5)     		tx = 49755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636165618896484 × 217)
    floor (0.636165618896484 × 131072)
    floor (83383.5)     		ty = 83383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49755 / 83383 ti = "17/49755/83383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49755/83383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49755 ÷ 217
    49755 ÷ 131072     		x = 0.379600524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83383 ÷ 217
    83383 ÷ 131072     		y = 0.636161804199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379600524902344 × 2 - 1) × π
    -0.240798950195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.75649221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636161804199219 × 2 - 1) × π
    -0.272323608398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.855529847519142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75649221} λ = -0.75649221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855529847519142))-π/2
    2×atan(0.425057915524664)-π/2
    2×0.401919701388322-π/2
    0.803839402776645-1.57079632675     		φ = -0.76695692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75649221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.343811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76695692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.943395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49755 KachelY 83383 -0.75649221 -0.76695692 -43.343811 -43.943395
    Oben rechts KachelX + 1 49756 KachelY 83383 -0.75644428 -0.76695692 -43.341065 -43.943395
    Unten links KachelX 49755 KachelY + 1 83384 -0.75649221 -0.76699144 -43.343811 -43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 49756 KachelY + 1 83384 -0.75644428 -0.76699144 -43.341065 -43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76695692--0.76699144) × R
    3.45199999999268e-05 × 6371000     		dl = 219.926919999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76695692--0.76699144) × R
    3.45199999999268e-05 × 6371000     		dr = 219.926919999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75649221--0.75644428) × cos(-0.76695692) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720025737518995 × 6371000     		do = 219.868520861182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75649221--0.75644428) × cos(-0.76699144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 219.861205763565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76695692)-sin(-0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720025737518995-0.720001782027159)×R²
    abs(-0.75644428--0.75649221)×2.39554918363138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39554918363138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39554918363138e-05×40589641000000     		ar = 48354.2022092871m²