Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49754 / 83375
↖ ↑ ↗
← S 43.927572°
W 43.346558°		 ← 219.97 m → S 43.927572°
W 43.343811°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 43.929550°
W 43.346558°		 ← 219.97 m →
48 391 m²		 S 43.929550°
W 43.343811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379596710205078 y=0.636104583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379596710205078 × 217)
    floor (0.379596710205078 × 131072)
    floor (49754.5)     		tx = 49754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636104583740234 × 217)
    floor (0.636104583740234 × 131072)
    floor (83375.5)     		ty = 83375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49754 / 83375 ti = "17/49754/83375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49754/83375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49754 ÷ 217
    49754 ÷ 131072     		x = 0.379592895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83375 ÷ 217
    83375 ÷ 131072     		y = 0.636100769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379592895507812 × 2 - 1) × π
    -0.240814208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75654015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636100769042969 × 2 - 1) × π
    -0.272201538085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.855146352322182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75654015} λ = -0.75654015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855146352322182))-π/2
    2×atan(0.425220954454023)-π/2
    2×0.402057782964744-π/2
    0.804115565929488-1.57079632675     		φ = -0.76668076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75654015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.346558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76668076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.927572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49754 KachelY 83375 -0.75654015 -0.76668076 -43.346558 -43.927572
    Oben rechts KachelX + 1 49755 KachelY 83375 -0.75649221 -0.76668076 -43.343811 -43.927572
    Unten links KachelX 49754 KachelY + 1 83376 -0.75654015 -0.76671529 -43.346558 -43.929550
    Unten rechts KachelX + 1 49755 KachelY + 1 83376 -0.75649221 -0.76671529 -43.343811 -43.929550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76668076--0.76671529) × R
    3.45300000000881e-05 × 6371000     		dl = 219.990630000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76668076--0.76671529) × R
    3.45300000000881e-05 × 6371000     		dr = 219.990630000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75654015--0.75649221) × cos(-0.76668076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.720217350563124 × 6371000     		do = 219.972917256437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75654015--0.75649221) × cos(-0.76671529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72019339499839 × 6371000     		du = 219.965600610351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76668076)-sin(-0.76671529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720217350563124-0.72019339499839)×R²
    abs(-0.75649221--0.75654015)×2.39555647343348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39555647343348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39555647343348e-05×40589641000000     		ar = 48391.1758584849m²