Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49753 / 83377
↖ ↑ ↗
← S 43.931528°
W 43.349304°		 ← 219.96 m → S 43.931528°
W 43.346558°		 →
↑
219.93 m
↓
↑
219.93 m
↓
S 43.933506°
W 43.349304°		 ← 219.95 m →
48 374 m²		 S 43.933506°
W 43.346558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379589080810547 y=0.636119842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379589080810547 × 217)
    floor (0.379589080810547 × 131072)
    floor (49753.5)     		tx = 49753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636119842529297 × 217)
    floor (0.636119842529297 × 131072)
    floor (83377.5)     		ty = 83377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49753 / 83377 ti = "17/49753/83377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49753/83377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49753 ÷ 217
    49753 ÷ 131072     		x = 0.379585266113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83377 ÷ 217
    83377 ÷ 131072     		y = 0.636116027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379585266113281 × 2 - 1) × π
    -0.240829467773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.75658809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636116027832031 × 2 - 1) × π
    -0.272232055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.855242226121422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75658809} λ = -0.75658809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855242226121422))-π/2
    2×atan(0.42518018885981)-π/2
    2×0.402023259126104-π/2
    0.804046518252209-1.57079632675     		φ = -0.76674981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75658809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.349304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76674981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.931528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49753 KachelY 83377 -0.75658809 -0.76674981 -43.349304 -43.931528
    Oben rechts KachelX + 1 49754 KachelY 83377 -0.75654015 -0.76674981 -43.346558 -43.931528
    Unten links KachelX 49753 KachelY + 1 83378 -0.75658809 -0.76678433 -43.349304 -43.933506
    Unten rechts KachelX + 1 49754 KachelY + 1 83378 -0.75654015 -0.76678433 -43.346558 -43.933506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76674981--0.76678433) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dl = 219.926920000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76674981--0.76678433) × R
    3.45200000000379e-05 × 6371000     		dr = 219.926920000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75658809--0.75654015) × cos(-0.76674981) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720169445512936 × 6371000     		do = 219.958285821543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75658809--0.75654015) × cos(-0.76678433) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720145495169307 × 6371000     		du = 219.950970770117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76674981)-sin(-0.76678433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720169445512936-0.720145495169307)×R²
    abs(-0.75654015--0.75658809)×2.3950343629453e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3950343629453e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3950343629453e-05×40589641000000     		ar = 48373.9439456273m²