Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49752 / 58266
↖ ↑ ↗
← N 19.575318°
W 43.352051°		 ← 287.71 m → N 19.575318°
W 43.349304°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.572730°
W 43.352051°		 ← 287.72 m →
82 798 m²		 N 19.572730°
W 43.349304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379581451416016 y=0.444538116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379581451416016 × 217)
    floor (0.379581451416016 × 131072)
    floor (49752.5)     		tx = 49752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444538116455078 × 217)
    floor (0.444538116455078 × 131072)
    floor (58266.5)     		ty = 58266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49752 / 58266 ti = "17/49752/58266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49752/58266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49752 ÷ 217
    49752 ÷ 131072     		x = 0.37957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58266 ÷ 217
    58266 ÷ 131072     		y = 0.444534301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.2408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75663602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444534301757812 × 2 - 1) × π
    0.110931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348501260237808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75663602} λ = -0.75663602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348501260237808))-π/2
    2×atan(1.4169423286066)-π/2
    2×0.956225038070321-π/2
    1.91245007614064-1.57079632675     		φ = 0.34165375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75663602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.352051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34165375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.575318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49752 KachelY 58266 -0.75663602 0.34165375 -43.352051 19.575318
    Oben rechts KachelX + 1 49753 KachelY 58266 -0.75658809 0.34165375 -43.349304 19.575318
    Unten links KachelX 49752 KachelY + 1 58267 -0.75663602 0.34160858 -43.352051 19.572730
    Unten rechts KachelX + 1 49753 KachelY + 1 58267 -0.75658809 0.34160858 -43.349304 19.572730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34165375-0.34160858) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dl = 287.778069999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34165375-0.34160858) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dr = 287.778069999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75663602--0.75658809) × cos(0.34165375) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.942201872336684 × 6371000     		do = 287.71267640604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75663602--0.75658809) × cos(0.34160858) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.942217005390467 × 6371000     		du = 287.717297466064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34165375)-sin(0.34160858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942201872336684-0.942217005390467)×R²
    abs(-0.75658809--0.75663602)×1.51330537827565e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51330537827565e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51330537827565e-05×40589641000000     		ar = 82798.0636646086m²