Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49751 / 16967
↖ ↑ ↗
← N 65.203772°
E 93.290405°		 ← 256.19 m → N 65.203772°
E 93.295899°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
N 65.201468°
E 93.290405°		 ← 256.21 m →
65 632 m²		 N 65.201468°
E 93.295899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759147644042969 y=0.258903503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759147644042969 × 216)
    floor (0.759147644042969 × 65536)
    floor (49751.5)     		tx = 49751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258903503417969 × 216)
    floor (0.258903503417969 × 65536)
    floor (16967.5)     		ty = 16967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49751 / 16967 ti = "16/49751/16967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49751/16967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49751 ÷ 216
    49751 ÷ 65536     		x = 0.759140014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16967 ÷ 216
    16967 ÷ 65536     		y = 0.258895874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759140014648438 × 2 - 1) × π
    0.518280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.62822473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258895874023438 × 2 - 1) × π
    0.482208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51490190179301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62822473} λ = 1.62822473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51490190179301))-π/2
    2×atan(4.54897485867969)-π/2
    2×1.35440841917373-π/2
    2.70881683834745-1.57079632675     		φ = 1.13802051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62822473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.290405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13802051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.203772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49751 KachelY 16967 1.62822473 1.13802051 93.290405 65.203772
    Oben rechts KachelX + 1 49752 KachelY 16967 1.62832061 1.13802051 93.295899 65.203772
    Unten links KachelX 49751 KachelY + 1 16968 1.62822473 1.13798030 93.290405 65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 49752 KachelY + 1 16968 1.62832061 1.13798030 93.295899 65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13802051-1.13798030) × R
    4.0210000000096e-05 × 6371000     		dl = 256.177910000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13802051-1.13798030) × R
    4.0210000000096e-05 × 6371000     		dr = 256.177910000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62822473-1.62832061) × cos(1.13802051) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.419392315556118 × 6371000     		do = 256.186416658507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62822473-1.62832061) × cos(1.13798030) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 256.20871426692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13802051)-sin(1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419392315556118-0.419428818059824)×R²
    abs(1.62832061-1.62822473)×3.65025037066813e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.65025037066813e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.65025037066813e-05×40589641000000     		ar = 65632.1568765142m²