Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49749 / 16969
↖ ↑ ↗
← N 65.199164°
E 93.279419°		 ← 256.23 m → N 65.199164°
E 93.284912°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
N 65.196860°
E 93.279419°		 ← 256.25 m →
65 660 m²		 N 65.196860°
E 93.284912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759117126464844 y=0.258934020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759117126464844 × 216)
    floor (0.759117126464844 × 65536)
    floor (49749.5)     		tx = 49749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258934020996094 × 216)
    floor (0.258934020996094 × 65536)
    floor (16969.5)     		ty = 16969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49749 / 16969 ti = "16/49749/16969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49749/16969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49749 ÷ 216
    49749 ÷ 65536     		x = 0.759109497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16969 ÷ 216
    16969 ÷ 65536     		y = 0.258926391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759109497070312 × 2 - 1) × π
    0.518218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62803298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258926391601562 × 2 - 1) × π
    0.482147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51471015419453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62803298} λ = 1.62803298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51471015419453))-π/2
    2×atan(4.54810268729605)-π/2
    2×1.35436820693948-π/2
    2.70873641387896-1.57079632675     		φ = 1.13794009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62803298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.279419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13794009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.199164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49749 KachelY 16969 1.62803298 1.13794009 93.279419 65.199164
    Oben rechts KachelX + 1 49750 KachelY 16969 1.62812886 1.13794009 93.284912 65.199164
    Unten links KachelX 49749 KachelY + 1 16970 1.62803298 1.13789987 93.279419 65.196860
    Unten rechts KachelX + 1 49750 KachelY + 1 16970 1.62812886 1.13789987 93.284912 65.196860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13794009-1.13789987) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13794009-1.13789987) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62803298-1.62812886) × cos(1.13794009) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41946531988538 × 6371000     		do = 256.23101146049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62803298-1.62812886) × cos(1.13789987) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41950183011027 × 6371000     		du = 256.253313785399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13794009)-sin(1.13789987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41946531988538-0.41950183011027)×R²
    abs(1.62812886-1.62803298)×3.65102248904847e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65102248904847e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65102248904847e-05×40589641000000     		ar = 65659.9068716377m²