Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49749 / 16968
↖ ↑ ↗
← N 65.201468°
E 93.279419°		 ← 256.21 m → N 65.201468°
E 93.284912°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
N 65.199164°
E 93.279419°		 ← 256.23 m →
65 638 m²		 N 65.199164°
E 93.284912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759117126464844 y=0.258918762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759117126464844 × 216)
    floor (0.759117126464844 × 65536)
    floor (49749.5)     		tx = 49749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258918762207031 × 216)
    floor (0.258918762207031 × 65536)
    floor (16968.5)     		ty = 16968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49749 / 16968 ti = "16/49749/16968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49749/16968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49749 ÷ 216
    49749 ÷ 65536     		x = 0.759109497070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16968 ÷ 216
    16968 ÷ 65536     		y = 0.2589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759109497070312 × 2 - 1) × π
    0.518218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62803298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2589111328125 × 2 - 1) × π
    0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62803298} λ = 1.62803298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51480602799377))-π/2
    2×atan(4.54853875208327)-π/2
    2×1.35438831393155-π/2
    2.7087766278631-1.57079632675     		φ = 1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62803298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.279419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49749 KachelY 16968 1.62803298 1.13798030 93.279419 65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 49750 KachelY 16968 1.62812886 1.13798030 93.284912 65.201468
    Unten links KachelX 49749 KachelY + 1 16969 1.62803298 1.13794009 93.279419 65.199164
    Unten rechts KachelX + 1 49750 KachelY + 1 16969 1.62812886 1.13794009 93.284912 65.199164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13798030-1.13794009) × R
    4.0209999999874e-05 × 6371000     		dl = 256.177909999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13798030-1.13794009) × R
    4.0209999999874e-05 × 6371000     		dr = 256.177909999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62803298-1.62812886) × cos(1.13798030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 256.208714266326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62803298-1.62812886) × cos(1.13794009) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41946531988538 × 6371000     		du = 256.23101146049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13798030)-sin(1.13794009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.41946531988538)×R²
    abs(1.62812886-1.62803298)×3.65018255554794e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65018255554794e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65018255554794e-05×40589641000000     		ar = 65637.8689775563m²