Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49745 / 58321
↖ ↑ ↗
← N 19.432924°
W 43.371277°		 ← 287.97 m → N 19.432924°
W 43.368531°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.430334°
W 43.371277°		 ← 287.97 m →
82 926 m²		 N 19.430334°
W 43.368531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379528045654297 y=0.444957733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379528045654297 × 217)
    floor (0.379528045654297 × 131072)
    floor (49745.5)     		tx = 49745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444957733154297 × 217)
    floor (0.444957733154297 × 131072)
    floor (58321.5)     		ty = 58321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49745 / 58321 ti = "17/49745/58321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49745/58321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49745 ÷ 217
    49745 ÷ 131072     		x = 0.379524230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58321 ÷ 217
    58321 ÷ 131072     		y = 0.444953918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379524230957031 × 2 - 1) × π
    -0.240951538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.75697158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444953918457031 × 2 - 1) × π
    0.110092163085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.345864730758705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75697158} λ = -0.75697158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345864730758705))-π/2
    2×atan(1.41321143884866)-π/2
    2×0.954982419084651-π/2
    1.9099648381693-1.57079632675     		φ = 0.33916851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75697158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.371277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33916851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.432924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49745 KachelY 58321 -0.75697158 0.33916851 -43.371277 19.432924
    Oben rechts KachelX + 1 49746 KachelY 58321 -0.75692365 0.33916851 -43.368531 19.432924
    Unten links KachelX 49745 KachelY + 1 58322 -0.75697158 0.33912331 -43.371277 19.430334
    Unten rechts KachelX + 1 49746 KachelY + 1 58322 -0.75692365 0.33912331 -43.368531 19.430334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33916851-0.33912331) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dl = 287.969199999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33916851-0.33912331) × R
    4.51999999999675e-05 × 6371000     		dr = 287.969199999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75697158--0.75692365) × cos(0.33916851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943031630779861 × 6371000     		do = 287.966053129325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75697158--0.75692365) × cos(0.33912331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943046667996012 × 6371000     		du = 287.970644924175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33916851)-sin(0.33912331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943031630779861-0.943046667996012)×R²
    abs(-0.75692365--0.75697158)×1.50372161505929e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50372161505929e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50372161505929e-05×40589641000000     		ar = 82926.0151085179m²