Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49744 / 83216
↖ ↑ ↗
← S 43.612217°
W 43.374024°		 ← 221.14 m → S 43.612217°
W 43.371277°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 43.614205°
W 43.374024°		 ← 221.13 m →
48 887 m²		 S 43.614205°
W 43.371277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379520416259766 y=0.634891510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379520416259766 × 217)
    floor (0.379520416259766 × 131072)
    floor (49744.5)     		tx = 49744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634891510009766 × 217)
    floor (0.634891510009766 × 131072)
    floor (83216.5)     		ty = 83216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49744 / 83216 ti = "17/49744/83216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49744/83216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49744 ÷ 217
    49744 ÷ 131072     		x = 0.3795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83216 ÷ 217
    83216 ÷ 131072     		y = 0.6348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6348876953125 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75701952} λ = -0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847524385282593))-π/2
    2×atan(0.42847435746833)-π/2
    2×0.404809775057144-π/2
    0.809619550114289-1.57079632675     		φ = -0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49744 KachelY 83216 -0.75701952 -0.76117678 -43.374024 -43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 49745 KachelY 83216 -0.75697158 -0.76117678 -43.371277 -43.612217
    Unten links KachelX 49744 KachelY + 1 83217 -0.75701952 -0.76121148 -43.374024 -43.614205
    Unten rechts KachelX + 1 49745 KachelY + 1 83217 -0.75697158 -0.76121148 -43.371277 -43.614205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76117678--0.76121148) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76117678--0.76121148) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75701952--0.75697158) × cos(-0.76117678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 221.135810339403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75701952--0.75697158) × cos(-0.76121148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.724000864477774 × 6371000     		du = 221.128499793619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76117678)-sin(-0.76121148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.724000864477774)×R²
    abs(-0.75697158--0.75701952)×2.39355916232808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39355916232808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39355916232808e-05×40589641000000     		ar = 48886.5037145542m²