Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49742 / 52814
↖ ↑ ↗
← N 32.957977°
W 43.379516°		 ← 256.22 m → N 32.957977°
W 43.376770°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
N 32.955673°
W 43.379516°		 ← 256.23 m →
65 655 m²		 N 32.955673°
W 43.376770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379505157470703 y=0.402942657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379505157470703 × 217)
    floor (0.379505157470703 × 131072)
    floor (49742.5)     		tx = 49742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402942657470703 × 217)
    floor (0.402942657470703 × 131072)
    floor (52814.5)     		ty = 52814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49742 / 52814 ti = "17/49742/52814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49742/52814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49742 ÷ 217
    49742 ÷ 131072     		x = 0.379501342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52814 ÷ 217
    52814 ÷ 131072     		y = 0.402938842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379501342773438 × 2 - 1) × π
    -0.240997314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75711539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402938842773438 × 2 - 1) × π
    0.194122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.609853236966354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75711539} λ = -0.75711539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.609853236966354))-π/2
    2×atan(1.84016131130625)-π/2
    2×1.07301077372677-π/2
    2.14602154745354-1.57079632675     		φ = 0.57522522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75711539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.379516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57522522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.957977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49742 KachelY 52814 -0.75711539 0.57522522 -43.379516 32.957977
    Oben rechts KachelX + 1 49743 KachelY 52814 -0.75706746 0.57522522 -43.376770 32.957977
    Unten links KachelX 49742 KachelY + 1 52815 -0.75711539 0.57518500 -43.379516 32.955673
    Unten rechts KachelX + 1 49743 KachelY + 1 52815 -0.75706746 0.57518500 -43.376770 32.955673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57522522-0.57518500) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57522522-0.57518500) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75711539--0.75706746) × cos(0.57522522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839069798666516 × 6371000     		do = 256.220057032656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75711539--0.75706746) × cos(0.57518500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.839091678624273 × 6371000     		du = 256.226738340973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57522522)-sin(0.57518500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839069798666516-0.839091678624273)×R²
    abs(-0.75706746--0.75711539)×2.18799577569317e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18799577569317e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18799577569317e-05×40589641000000     		ar = 65655.0985141138m²