Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49740 / 58260
↖ ↑ ↗
← N 19.590844°
W 43.385010°		 ← 287.74 m → N 19.590844°
W 43.382263°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.588256°
W 43.385010°		 ← 287.75 m →
82 789 m²		 N 19.588256°
W 43.382263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379489898681641 y=0.444492340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379489898681641 × 217)
    floor (0.379489898681641 × 131072)
    floor (49740.5)     		tx = 49740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444492340087891 × 217)
    floor (0.444492340087891 × 131072)
    floor (58260.5)     		ty = 58260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49740 / 58260 ti = "17/49740/58260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49740/58260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49740 ÷ 217
    49740 ÷ 131072     		x = 0.379486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58260 ÷ 217
    58260 ÷ 131072     		y = 0.444488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.24102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75721127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    0.11102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.348788881635529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75721127} λ = -0.75721127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348788881635529))-π/2
    2×atan(1.4173499301543)-π/2
    2×0.956360530249876-π/2
    1.91272106049975-1.57079632675     		φ = 0.34192473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75721127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34192473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.590844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49740 KachelY 58260 -0.75721127 0.34192473 -43.385010 19.590844
    Oben rechts KachelX + 1 49741 KachelY 58260 -0.75716333 0.34192473 -43.382263 19.590844
    Unten links KachelX 49740 KachelY + 1 58261 -0.75721127 0.34187957 -43.385010 19.588256
    Unten rechts KachelX + 1 49741 KachelY + 1 58261 -0.75716333 0.34187957 -43.382263 19.588256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34192473-0.34187957) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34192473-0.34187957) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75721127--0.75716333) × cos(0.34192473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942111047056675 × 6371000     		do = 287.744963709271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75721127--0.75716333) × cos(0.34187957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942126188290117 × 6371000     		du = 287.7495882317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34192473)-sin(0.34187957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942111047056675-0.942126188290117)×R²
    abs(-0.75716333--0.75721127)×1.51412334427059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51412334427059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51412334427059e-05×40589641000000     		ar = 82789.0233616118m²