Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49740 / 52812
↖ ↑ ↗
← N 32.962586°
W 43.385010°		 ← 256.26 m → N 32.962586°
W 43.382263°		 →
↑
256.24 m
↓
↑
256.24 m
↓
N 32.960282°
W 43.385010°		 ← 256.27 m →
65 665 m²		 N 32.960282°
W 43.382263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379489898681641 y=0.402927398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379489898681641 × 217)
    floor (0.379489898681641 × 131072)
    floor (49740.5)     		tx = 49740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402927398681641 × 217)
    floor (0.402927398681641 × 131072)
    floor (52812.5)     		ty = 52812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49740 / 52812 ti = "17/49740/52812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49740/52812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49740 ÷ 217
    49740 ÷ 131072     		x = 0.379486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52812 ÷ 217
    52812 ÷ 131072     		y = 0.402923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.24102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75721127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402923583984375 × 2 - 1) × π
    0.19415283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.609949110765594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75721127} λ = -0.75721127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.609949110765594))-π/2
    2×atan(1.84033774301983)-π/2
    2×1.07305099508249-π/2
    2.14610199016497-1.57079632675     		φ = 0.57530566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75721127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.385010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57530566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.962586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49740 KachelY 52812 -0.75721127 0.57530566 -43.385010 32.962586
    Oben rechts KachelX + 1 49741 KachelY 52812 -0.75716333 0.57530566 -43.382263 32.962586
    Unten links KachelX 49740 KachelY + 1 52813 -0.75721127 0.57526544 -43.385010 32.960282
    Unten rechts KachelX + 1 49741 KachelY + 1 52813 -0.75716333 0.57526544 -43.382263 32.960282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57530566-0.57526544) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dl = 256.241620000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57530566-0.57526544) × R
    4.02200000000352e-05 × 6371000     		dr = 256.241620000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75721127--0.75716333) × cos(0.57530566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.839026034679078 × 6371000     		do = 256.260147520955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75721127--0.75716333) × cos(0.57526544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83904791735144 × 6371000     		du = 256.266831052354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57530566)-sin(0.57526544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839026034679078-0.83904791735144)×R²
    abs(-0.75716333--0.75721127)×2.18826723613619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18826723613619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18826723613619e-05×40589641000000     		ar = 65665.3716507158m²