Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4974 / 5178
↖ ↑ ↗
← S 42.875964°
E 38.583985°		 ← 3 580.96 m → S 42.875964°
E 38.627930°		 →
↑
3 580.06 m
↓
↑
3 580.06 m
↓
S 42.908160°
E 38.583985°		 ← 3 579.09 m →
12 816 696 m²		 S 42.908160°
E 38.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60723876953125 y=0.63214111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60723876953125 × 213)
    floor (0.60723876953125 × 8192)
    floor (4974.5)     		tx = 4974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63214111328125 × 213)
    floor (0.63214111328125 × 8192)
    floor (5178.5)     		ty = 5178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4974 / 5178 ti = "13/4974/5178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4974/5178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4974 ÷ 213
    4974 ÷ 8192     		x = 0.607177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5178 ÷ 213
    5178 ÷ 8192     		y = 0.632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607177734375 × 2 - 1) × π
    0.21435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67341757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.26416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.829883606222412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67341757} λ = 0.67341757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.829883606222412))-π/2
    2×atan(0.436100042698991)-π/2
    2×0.411234791629404-π/2
    0.822469583258809-1.57079632675     		φ = -0.74832674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67341757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.583985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74832674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.875964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4974 KachelY 5178 0.67341757 -0.74832674 38.583985 -42.875964
    Oben rechts KachelX + 1 4975 KachelY 5178 0.67418456 -0.74832674 38.627930 -42.875964
    Unten links KachelX 4974 KachelY + 1 5179 0.67341757 -0.74888867 38.583985 -42.908160
    Unten rechts KachelX + 1 4975 KachelY + 1 5179 0.67418456 -0.74888867 38.627930 -42.908160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74832674--0.74888867) × R
    0.000561930000000044 × 6371000     		dl = 3580.05603000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74832674--0.74888867) × R
    0.000561930000000044 × 6371000     		dr = 3580.05603000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67341757-0.67418456) × cos(-0.74832674) × R
    0.000766990000000023 × 0.732828402922542 × 6371000     		do = 3580.96107360253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67341757-0.67418456) × cos(-0.74888867) × R
    0.000766990000000023 × 0.732445942483346 × 6371000     		du = 3579.0921832327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74832674)-sin(-0.74888867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732828402922542-0.732445942483346)×R²
    abs(0.67418456-0.67341757)×0.000382460439196097×R²
    0.000766990000000023×0.000382460439196097×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382460439196097×40589641000000     		ar = 12816696.2558822m²