Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4974 / 4081
↖ ↑ ↗
← N 66.644268°
W 70.708008°		 ← 968.58 m → N 66.644268°
W 70.686035°		 →
↑
968.77 m
↓
↑
968.77 m
↓
N 66.635556°
W 70.708008°		 ← 968.93 m →
938 505 m²		 N 66.635556°
W 70.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303619384765625 y=0.249114990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303619384765625 × 214)
    floor (0.303619384765625 × 16384)
    floor (4974.5)     		tx = 4974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249114990234375 × 214)
    floor (0.249114990234375 × 16384)
    floor (4081.5)     		ty = 4081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4974 / 4081 ti = "14/4974/4081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4974/4081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4974 ÷ 214
    4974 ÷ 16384     		x = 0.3035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4081 ÷ 214
    4081 ÷ 16384     		y = 0.24908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.392822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23408754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24908447265625 × 2 - 1) × π
    0.5018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57654875470441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23408754} λ = -1.23408754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57654875470441))-π/2
    2×atan(4.838229048517)-π/2
    2×1.36697911655011-π/2
    2.73395823310021-1.57079632675     		φ = 1.16316191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23408754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16316191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.644268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4974 KachelY 4081 -1.23408754 1.16316191 -70.708008 66.644268
    Oben rechts KachelX + 1 4975 KachelY 4081 -1.23370405 1.16316191 -70.686035 66.644268
    Unten links KachelX 4974 KachelY + 1 4082 -1.23408754 1.16300985 -70.708008 66.635556
    Unten rechts KachelX + 1 4975 KachelY + 1 4082 -1.23370405 1.16300985 -70.686035 66.635556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16316191-1.16300985) × R
    0.000152060000000009 × 6371000     		dl = 968.77426000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16316191-1.16300985) × R
    0.000152060000000009 × 6371000     		dr = 968.77426000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23408754--1.23370405) × cos(1.16316191) × R
    0.000383489999999931 × 0.396438689087184 × 6371000     		do = 968.584868505846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23408754--1.23370405) × cos(1.16300985) × R
    0.000383489999999931 × 0.396578284889347 × 6371000     		du = 968.925931034312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16316191)-sin(1.16300985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396438689087184-0.396578284889347)×R²
    abs(-1.23370405--1.23408754)×0.000139595802162773×R²
    0.000383489999999931×0.000139595802162773×6371000²
    0.000383489999999931×0.000139595802162773×40589641000000     		ar = 938505.297341269m²